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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

donc que, pour une valeur donnée de $z^{\frac {1}{c}},$ le point le point

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma$

soit un point singulier de $\mathrm {F} (z,\,t)$ considérée comme fonction de $x^{\frac {1}{c}}.$ Il en sera de même des points

$x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2i\pi }{c}},\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {4i\pi }{c}},\quad \ldots ,\quad x^{\frac {1}{c}}=\gamma \,e^{\frac {2(c-1)i\pi }{c}}.$

Nous avons vu que les valeurs de $x$ qui correspondent aux points singuliers de $\Phi (z)$ sont toutes réelles, et ont par conséquent pour argument 0 ou $\pi .$ Les valeurs correspondantes de $x^{\frac {1}{c}}$ auront donc pour argument ${\frac {k\pi }{c}},$ $k$ étant entier. Soit donc $\alpha _{i}$ une de ces valeurs, je pourrai écrire

$\alpha _{i}=\alpha '_{i}e^{\frac {2ki\pi }{c}},$

$\alpha '_{i}$ ayant pour argument 0 ou ${\frac {\pi }{c}}$ et $k$ étant entier.

Si $\alpha _{i}$ correspond à un point singulier de $\Phi (z)$ [c’est-à-dire à deux points singuliers de $\mathrm {F} (z,\,t)$ confondus], il en sera de même de $\alpha '_{i}.$

Je dis que la condition nécessaire et suffisante pour que le point $\alpha _{i}$ soit admissible, c’est que le point $\alpha '_{i}.$ le soit.

En effet, appliquons la règle : quand le point $z^{\frac {1}{c}}$ décrira la droite $\Delta ,$ les deux points singuliers, primitivement confondus en $\alpha _{i},$ auront pour positions finales $\gamma$ et $\gamma '\,;$ de même les deux points singuliers primitivement confondus en $\alpha '_{i}$ auront pour positions finales

$\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\quad \mathrm {et} \quad \gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}.$

Il suffit évidemment, pour démontrer le théorème énoncé, d’observer que

$|\gamma |=\left|\gamma \,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|,\quad |\gamma '|=\left|\gamma '\,e^{-{\frac {2ki\pi }{c}}}\right|.$

Il suffira donc d’examiner les points singuliers qui correspondent