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CHAPITRE I.

Réduction du Problème des trois Corps.

15.Il s’agit de faire effectivement cette réduction.

Envisageons d’abord le cas où les trois corps se meuvent dans un même plan. Nous avons vu que le nombre des degrés de liberté pouvait alors être réduit à 3. Cherchons à opérer effectivement cette réduction.

Nous avons vu que les équations du mouvement pouvaient s’écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {L} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,dl}},&{\frac {d\Pi }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\varpi }},&{\frac {d\mathrm {L} '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,dl'}},&{\frac {d\Pi '}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\varpi '}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\mathrm {L} }},&{\frac {d\varpi }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Pi }},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\mathrm {L} '}},&{\frac {d\varpi '}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Pi '}}\cdot \end{aligned}}$

On a d’ailleurs

${\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}+{\frac {d\mathrm {F} '}{d\varpi '}}=0,$

d’où l’intégrale des aires

$\beta \Pi +\beta '\Pi '=\mathrm {C} ,$

$\mathrm {C}$ étant une constante.

Posons

${\begin{aligned}\beta \Pi &=\mathrm {H} ,&\beta '\Pi '&=\mathrm {C} -\mathrm {H} ,&\varpi -\varpi '=h,\end{aligned}}$

d’où (si l’on remplace $\Pi$ et $\Pi '$ par leurs valeurs en fonction de $\mathrm {C}$ et de $\mathrm {H}$)

(1)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}&={\frac {d\mathrm {F} }{\beta \,d\Pi }}-{\frac {d\mathrm {F} }{\beta '\,d\Pi '}},&{\frac {d\mathrm {F} }{dh}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\varpi '}},\end{aligned}}$

et les équations du mouvement deviendront

${\begin{aligned}{\frac {d(\beta \mathrm {L} )}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl}},&{\frac {d(\beta '\mathrm {L} ')}{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dl'}},&{\frac {d\mathrm {H} }{dt}}&=\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dh}},\\{\frac {dl}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta \mathrm {L} )}},&{\frac {dl'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d(\beta '\mathrm {L} ')}},&{\frac {dh}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}\cdot \end{aligned}}$

Il n’y a plus que 3 degrés de liberté.