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CHAPITRE II.

tels que si l’on pose

$\theta _{1,1}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,1}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,1}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,1}(t),$

et de même

$\theta _{1,i}(t)=\mathrm {B} _{1}\psi _{1,i}(t)+\mathrm {B} _{2}\psi _{2,i}(t)+\dots +\mathrm {B} _{n}\psi _{n,i}(t),$

on ait

$\theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,1}(t)$

et de même

$\theta _{1,i}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}\theta _{1,i}(t).$

Posons

$\mathrm {S} _{1}=e^{2\alpha _{1}\pi },$

il viendra

$e^{-\alpha _{1}(t+2\pi )}\theta _{1,1}(t+2\pi )=\mathrm {S} _{1}e^{-2\alpha _{1}\pi }e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)=e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)$

Cette équation exprime que

$e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,1}(t)$

est une fonction périodique que nous pourrons développer en une série trigonométrique

$\lambda _{1,1}(t).$

Si les fonctions périodiques $\varphi _{i,k}(t)$ sont analytiques, il en sera de même des solutions des équations différentielles (2) et de $\lambda _{1,1}(t).$ La série $\lambda _{1,1}(t)$ sera donc absolument et uniformément convergente.

De même

$e^{-\alpha _{1}t}\theta _{1,i}(t)$

sera une fonction périodique que l’on pourra représenter par une série trigonométrique

$\lambda _{1,i}(t).$

Nous avons donc une solution particulière des équations (2) qui s’écrit

(6)

${\begin{aligned}x_{1}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,1}(t),&x_{2}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,2}(t),&&\dots ,&x_{n}&=e^{\alpha _{1}t}\lambda _{1,n}(t).\end{aligned}}$

À chaque racine de l’équation (5) correspond une solution de la forme (6).