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CHAPITRE III.

on pourra encore en conclure que

$\varphi _{i}(t)=\varphi _{i}(t+\mathrm {T} ),$

et la solution (2) sera encore périodique.

Voici un autre cas un peu plus compliqué. Supposons de nouveau que les fonctions $\mathrm {X} _{i}$ ne dépendent plus que des $x,$ mais qu’elles soient des fonctions périodiques des $p$ premières $x,$ à savoir de $x_{1},$ $x_{2},$ $\dots ,$ $x_{p},$ de telle sorte que les $\mathrm {X} _{i}$ ne changent pas quand on change $x_{1}$ en $x_{1}+2\pi ,$ ou bien $x_{2}$ en $x_{2}+2\pi ,$ …, ou bien $x_{p}$ en $x_{p}+2\pi .$

Imaginons maintenant que l’on ait

${\begin{alignedat}{6}\varphi _{1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{1}(0)\!+\!2k_{1}\pi ,&\varphi _{2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{2}(0)\!+\!2k_{2}\pi ,\;\;&\dots \;\;\varphi _{p}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p}(0)\!+\!2k_{p}\pi ,\\\varphi _{p+1}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+1}(0),&\varphi _{p+2}(\mathrm {T} )&=\varphi _{p+2}(0),&\dots \;\;\varphi _{n}(\mathrm {T} )&=\varphi _{n}(0).\end{alignedat}}$

$k_{1},\,k_{2},\,\dots ,\,k_{p}$ étant des entiers.

À l’époque $\mathrm {T} ,$ les $p$ premières variables $x$ auront augmenté d’un multiple de $2\pi ,$ les $n-p$ dernières n’auront pas changé ; les $\mathrm {X} _{i}$ n’auront donc pas changé, et l’on se retrouvera dans les mêmes conditions qu’à l’époque 0. On aura donc

${\begin{alignedat}{6}\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)+2k_{i}\pi &&\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,p)\\\varphi _{i}(t+\mathrm {T} )&=\varphi _{i}(t)&&\quad (i=p+1,\,p+2,\,\dots ,\,n).\end{alignedat}}$

Nous conviendrons encore de dire que la solution (2) est une solution périodique.

Enfin il peut arriver qu’un changement convenable de variables fasse apparaître des solutions périodiques qu’on ne rencontrait pas avec les variables anciennes.

Reprenons, par exemple, les équations (2) du n^o 2

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}-2n{\frac {d\eta }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}+n^{2}\xi ,\\{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}+2n{\frac {d\xi }{dt}}&={\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}+n^{2}\eta .\end{aligned}}$

Il s’agit, on se le rappelle, du mouvement d’un point rapporté ù deux axes mobiles Oξ et Oη et soumis à une force dont les composantes suivant ces deux axes sont ${\frac {d\mathrm {V} }{d\xi }}$ et ${\frac {d\mathrm {V} }{d\eta }}\cdot$

Dans beaucoup d’applications, $\mathrm {V}$ ne dépend que de $\xi$ et de $\eta$