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SOLUTIONS PÉRIODIQUES DU DEUXIÈME GENRE.

Cette condition n’est d’ailleurs pas suffisante, comme nous le verrons plus loin, pour que par le point $\mathrm {P}$ passent plusieurs branches de courbe réelles.

Formons le déterminant des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ ajoutons $-\mathrm {S}$ à tous les termes de la diagonale principale et égalons à zéro le déterminant ainsi obtenu. Nous obtiendrons ainsi l’équation connue sous le nom d’équation en $\mathrm {S} .$

Les racines de cette équation (Cf. n^o 60) sont

$e^{k\alpha \mathrm {T} }-1,$

$\alpha$ étant l’un des exposants caractéristiques des équations (1).

Pour que le déterminant fonctionnel soit nul il faut et il suffit qu’une des racines soit nulle ; on doit donc avoir

$e^{k\alpha \mathrm {T} }=1,$

ce qui veut dire que $k\,\alpha \,\mathrm {T}$ soit un multiple de $2i\pi .$

Donc, pour que par le point $\mathrm {P}$ passent plusieurs branches de courbe, il faut que l’un des exposants caractéristiques soit multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

315.Cette condition n’est pas suffisante et une discussion plus complète est nécessaire.

Posons

$\mu =\mu _{0}+\lambda ,$

et cherchons à développer les $\beta$ suivant les puissances entières ou fractionnaires de $\lambda .$

Nous supposons que le jacobien des $\psi ,$ par rapport aux $\beta ,$ est nul ; ce jacobien s’annule pour $\lambda =0,$ mais ne sera pas en général identiquement nul ; il faudrait pour cela que l’un des exposants caractéristiques fût constant, indépendant de $\mu$ et égal à un multiple de ${\frac {2i\pi }{k\mathrm {T} }}\cdot$

Nous supposerons donc que le jacobien s’annule pour $\lambda =0,$ mais que sa dérivée, par rapport à $\lambda ,$ ne s’annule pas.

De même, nous supposerons d’abord que les mineurs du premier ordre de ce jacobien ne s’annulent pas tous à la fois.

Dans ce cas, en vertu du théorème du n^o 30, de $n-1$ des