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SOLUTIONS DOUBLEMENT ASYMPTOTIQUES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ou bien encore

$x_{1},\quad y_{1}\,;\quad x_{2},\quad y_{2},$

en posant

${\begin{aligned}\xi _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\cos y_{i}\,;&\eta _{i}&={\sqrt {2x_{i}}}\sin y_{i}.\end{aligned}}$

Ce changement de variables n’altère pas la forme canonique des équations. Nous prendrons

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}(1-\mu )+\mu \,\mathrm {F} _{1}.$

Nous supposerons que $\mathrm {F} _{0}$ est une fonction holomorphe de $x_{1}$ et de $x_{2},$ indépendante de $y_{1}$ et de $y_{2}\,;$ que pour $x_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2}},$ $x_{2}={\frac {1}{2}},$ on ait

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=0,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=-1,\end{aligned}}$

et que pour $x_{1}={\frac {1}{2}}\,,x_{2}={\frac {\alpha ^{2}}{2}}$

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}}}&=-1,&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}}}&=0\,;\end{aligned}}$

je suppose la quantité $\alpha <1.$

Il résulte de ces hypothèses, que si l’on fait $\mu =0,$ d’où $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0},$ nos équations admettront deux solutions périodiques remarquables.

La première que j’appellerai $\sigma$ s’écrira

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&x_{2}&={\frac {1}{2}},&y_{1}&=t,&y_{2}&=0,\\\xi _{1}&=\alpha \cos t,&\eta _{1}&=\alpha \sin t,&\xi _{2}&=1,&\eta _{2}&=0.\end{aligned}}$

La seconde que j’appellerai $\sigma '$ s’écrira

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {1}{2}},&x_{2}&={\frac {\alpha ^{2}}{2}},&y_{1}&=1,&y_{2}&=t,\\\xi _{1}&=1,&\eta _{1}&=0,&\xi _{2}&=\alpha \cos t,&\eta _{2}&=\alpha \sin t.\end{aligned}}$

La première correspond à $n_{1}=1,$ $n_{2}=0,$ la seconde à $n_{1}=0,$ $n_{2}=1\,;$ ces deux solutions périodiques ne correspondent donc pas à une même valeur du rapport ${\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cdot$

Pour définir $\mathrm {F} _{1}$ je pose

${\begin{aligned}\xi _{1}&=1-r\cos \omega ,&\xi _{2}&=1-r\sin \omega ,\end{aligned}}$

en attribuant à la variable $r$ une valeur essentiellement positive.