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PRINCIPE DE HUYGHENS

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

On a donc la relation

(2)

$r\,\psi (r)=\mathrm {V} \left(\mathrm {F} '_{1}-\mathrm {F} '\right).$

Les relations (1) et (2) détermineront les fonctions $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F} _{1}.$

Une solution particulière des équations des mouvements transversaux qui est intéressante en optique est celle où l’on a

$\mathrm {F} _{1}(r)=0,\qquad \qquad \qquad \mathrm {F} (r)=e^{-i\alpha r}.$

La valeur de $\xi$ est alors

$\xi ={\frac {e^{-i\alpha \left(r-\mathrm {V} t\right)}}{r}}$

Sa dérivée seconde par rapport à $t$ a pour valeur $\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi .$ Comme $\xi$ satisfait aux équations du mouvement, on doit avoir

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ,$

$-\alpha ^{2}\mathrm {V} ^{2}\xi =\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi$

ou enfin

$\Delta \xi +\alpha ^{2}\xi =0.$

70. Intégrales générales des équations des mouvements transversaux. — Considérons la première de ces équations que nous écrirons sous la forme

(1)

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi .$

Nous aurons l’intégrale générale de cette équation si nous trouvons une fonction $\xi$ de $x,$ $y,$ $z$ et $t$ qui y satisfasse identiquement et qui se réduise, pour $t=0,$ à une fonction arbitraire