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PRINCIPE DE HUYGHENS

ou

$d\xi =dr\int \mathrm {F} \,d\sigma +r\,dr\int {\frac {d\mathrm {F} }{dr}}d\sigma .$

Pour calculer la valeur de la seconde intégrale qui entre dans cette expression, remarquons que, le rayon $r$ étant normal à l’élément de surface $d\omega ,$ on a, d’après le théorème de Green,

$\int {\frac {d\mathrm {F} }{dr}}d\omega =\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau ,$

$d\tau$ étant un élément de volume, et l’intégrale du second membre étant étendue à toute la sphère. En introduisant dans cette dernière égalité l’angle solide $d\sigma$ qui correspond à $d\omega ,$ elle devient

(5)

$\int {\frac {d\mathrm {F} }{dr}}d\sigma ={\frac {1}{r^{2}}}\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau .$

Nous pouvons donc remplacer la valeur trouvée précédemment pour $d\xi$ par la suivante :

$d\xi =dr\int \mathrm {F} \,d\sigma +{\frac {dr}{r}}\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau \,;$

ou, en divisant par $dr=\mathrm {V} dt,$

(6)

${\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d\xi }{dt}}=\int \mathrm {F} \,d\sigma +{\frac {1}{r}}\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau .$

En différentiant cette dernière expression par rapport à $r,$