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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

nous obtenons l’égalité

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\int {\frac {d\mathrm {F} }{dr}}d\sigma -{\frac {1}{r^{2}}}\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau +{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\cdot \int \Delta \mathrm {F} \,d\tau ,$

qui, si nous tenons compte de la relation (5), se réduit à

(7)

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}\cdot \int \Delta \mathrm {F} \,d\tau .$

Le second membre de cette relation est, au facteur près ${\frac {1}{r\,dr}},$ la valeur de l’intégrale

$\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau ,$

étendue aux éléments de volume d’une couche comprise entre les sphères de rayons $r$ et $r+dr.$ Considérons un de ces éléments limité par ces deux sphères et par un cône ayant pour sommet le centre commun des deux sphères et pour base l’élément $d\omega$ de la surface de la première sphère. Le volume de cet élément sera, en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur au troisième, $d\omega \,dr.$ Par conséquent l’intégrale précédente devient

$\int \Delta \mathrm {F} \,d\omega \,dr,$

ou

$dr\int \Delta \mathrm {F} \,d\omega ,$

intégrale étendue à tous les éléments de la sphère de rayon $r.$