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PRINCIPE DE HUYGHENS

On obtient alors, pour la relation (7),

(8)

${\frac {1}{\mathrm {V} ^{2}}}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}={\frac {1}{r}}\int \Delta \mathrm {F} .d\omega .$

72. En remplaçant, dans l’équation (1) du mouvement, ${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}$ par sa valeur tirée de cette dernière relation, et $\Delta \xi$ par sa valeur (3), l’équation sera satisfaite. Par conséquent

$\xi =\int {\frac {\mathrm {F} (x',y',z')}{r}}d\omega$

est une solution particulière de l’équation du mouvement. Ce ne peut être encore l’intégrale générale, puisqu’elle ne contient qu’une fonction arbitraire.

Cherchons les valeurs initiales de $\xi$ et de ${\frac {d\xi }{dt}}.$ Quand $t$ tend vers zéro, le rayon de la sphère $r$ tend vers zéro, et la valeur de $\mathrm {F} (x',y',z')$ tend vers $\mathrm {F} (x,y,z).$ Si $x',y',z'$ diffèrent peu de $x,y,z,$ l’intégrale

$\int \mathrm {F} (x',y',z')\,d\sigma$

aura une valeur voisine de

$\mathrm {F} (x,y,z)\int d\sigma =4\pi \mathrm {F} (x,y,z).$

Il en résulte que la valeur de $\xi$ donnée par l’expression (4) diffère peu de

$r.4\pi \mathrm {F} (x,y,z).$

À la limite, quand $r$ est égal à zéro, $\xi$ est donc nul. Par conséquent la valeur initiale de $\xi$ est nulle.