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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

La relation (6) nous donne, pour ${\frac {d\xi }{dt}},$

${\frac {d\xi }{dt}}=\mathrm {V} \int \mathrm {F} \,d\sigma +{\frac {\mathrm {V} }{r}}\int \Delta \mathrm {F} \,d\tau .$

Le second terme du second membre peut être négligé quand le rayon $r$ est infiniment petit. En effet, l’intégrale qu’il contient, devant être étendue à tous les éléments de la sphère, sera un infiniment petit du troisième ordre; son quotient par $r$ sera du second ordre et sera négligeable vis-à-vis du premier terme dont la valeur est à la limite $4\pi \mathrm {V} \mathrm {F} .$ Nous aurons donc

(9)

$\left({\frac {d\xi }{dt}}\right)_{0}=4\pi \mathrm {V} \mathrm {F} (x,y,z).$

Comme la fonction $\mathrm {F}$ est quelconque, la vitesse initiale du déplacement est arbitraire.

73. Pour avoir l’intégrale générale de l’équation du mouvement, il nous faut trouver une seconde solution particulière dont la valeur initiale puisse être prise arbitrairement. Nous allons montrer que

$\xi '={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d\xi }{dt}}$

satisfait à ces conditions.

D’abord, c’est une solution de l’équation du mouvement. En effet, on a

${\frac {d^{2}\xi '}{dt^{2}}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d^{3}\xi }{dt^{3}}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d}{dt}}\cdot {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}},$

et

$\Delta \xi '={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d\xi }{dt}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\cdot {\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d\xi }{dt}}={\frac {1}{\mathrm {V} }}{\frac {d}{dt}}\cdot \Delta \xi .$