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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

matière attirante. Il est aisé de reconnaître que si l’on fait $\alpha =0,$ on retombe sur l’équation de Poisson.

Pour démontrer cette équation, décrivons du point $\mathrm {P}$ comme centre une très petite sphère $s,$ et décomposons le volume attirant en deux volumes partiels, à savoir la sphère $s$ et le volume $\mathrm {T}$ situé en dehors de cette sphère. Posons ensuite

$\xi _{0}+\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3},$

où

$\xi _{1}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\tau$	(intégrale étendue au volume $\mathrm {T}$),
$\xi _{2}=\int {\frac {\mathrm {X} }{r}}\,d\tau$	(intégrale étendue à $s$),
$\xi _{3}=\int \mathrm {X} \left({\frac {e^{i\alpha r}-1}{r}}\right)\,d\tau$	(intégrale étendue à $s$).

Le point $\mathrm {P}$ étant en dehors du volume $\mathrm {T} ,$ on aura

$\Delta \xi _{1}+\alpha ^{2}\xi _{1}=0.$

D’ailleurs, l’équation de Poisson nous donne

$\Delta \xi _{2}+4\pi \mathrm {X} =0.$

Le rayon de la sphère $s$ étant très petit, on aura à des infiniment petits près

$\xi _{2}=\xi _{3}=0,\qquad \qquad \qquad \xi _{1}=\xi _{0}.$

D’autre part, si nous considérons l’intégrale qui définit la fonction $\xi _{3},$ nous voyons que la fonction sous le signe $\displaystyle \int$ ne