Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/119

105

DIFFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

devient pas infinie pour $r=0\,;$ nous en conclurons que $\Delta \xi _{3}$ est du même ordre de grandeur que la sphère $s\,;$ on a donc

$\Delta \xi _{3}=0,\qquad \qquad \qquad \Delta \xi _{0}=\Delta \xi _{1}+\Delta \xi _{2},$

d’où

$\Delta \xi _{0}+\alpha ^{2}\xi _{0}+4\pi \mathrm {X} =0.$

79. Envisageons maintenant une surface attirante. Le potentiel dû à l’attraction de cette surface sera représenté par l’intégrale

(7)

$\xi _{0}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}}{r}}\,d\omega ,$

étendue à tous les éléments $d\omega$ de la surface attirante ; $\mathrm {X}$ désigne une fonction quelconque des coordonnées de l’élément $d\omega ,$ et $r$ est la distance de cet élément au point attiré $x,y,z.$

Nous trouverons encore ici la plus grande analogie avec la théorie du potentiel newtonien et en effet si nous posons

$\xi _{0}=\xi _{1}+\xi _{2},$

$\xi _{1}=\int {\frac {\mathrm {X} }{r}}\,d\omega ,\qquad \qquad \qquad \xi _{2}=\int \mathrm {X} {\frac {e^{i\alpha r}-1}{r}}d\omega ,$

la première intégrale est le potentiel ordinaire, la seconde est telle que la fonction sous le signe $\int$ ne devient jamais infinie ; c’est donc une fonction continue ainsi que toutes ses dérivées.

D’après la théorie du potentiel newtonien, $\xi _{1}$ est aussi une fonction continue, il en est donc de même de $\xi _{0}.$ Mais il n’en est pas de même de ses dérivées.