Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/153

139

DIFFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Fig. 11. infini et comme $\alpha$ est nul en même temps que $v$ l’axe des $x$ est une tangente d’inflexion au point $\mathrm {O}$ (fig. 11).

Pour construire la courbe nous ferons varier $v$ de $0$ à l’infini ; l’angle $\alpha$ de la tangente à la courbe avec l’axe $Ox$ augmentera au delà de toute limite ; le rayon de courbure tendra vers $0.$ Nous aurons donc une courbe en forme de colimaçon avec un point asymptotique. Cherchons les coordonnées de ce point $\mathrm {A} .$ Pour cela cherchons la valeur de l’intégrale

$\int _{0}^{\infty }e^{{\frac {i\pi }{2}}v^{2}}\,dv.$

On sait que l’on a

$\int _{0}^{\infty }e^{-z^{2}}\,dz={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

Si nous posons

$z^{2}=-{\frac {i\pi }{2}}v^{2},$

nous avons,

$z=v{\sqrt {\frac {-i\pi }{2}}},\qquad \qquad dz=dv{\sqrt {\frac {-i\pi }{2}}}.$