Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/195

181

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

Quant à la somme d’intégrales que nous avons désignée par $\mathrm {I} ,$ elle nous donnerait la valeur des pressions qui s’exercent sur la surface $\mathrm {S.}$ Nous ne chercherons pas ces pressions.

124. Équations du mouvement. — Nous sommes donc conduits à la règle suivante.

Les équations du mouvement s’écriront

$\rho \,{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {P} ,\qquad \rho \,{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,\qquad \rho \,{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {R} .$

$\mathrm {P,\,Q,\,R}$ étant des polynômes linéaires par rapport aux dérivées des divers ordres de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ et formés comme il suit :

Pour former $\mathrm {P} ,$ on différentiera $\mathrm {W} _{2}$ par rapport à chacune des dérivées partielles de $\xi$ qui y entrent. On différentiera la dérivée de $\mathrm {W} _{2}$ ainsi obtenue : par rapport à $x,$ $y$ et $z,$ de la même manière que l’a été la dérivée partielle de $\xi$ qui y entre. Par exemple on différentiera :

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}\,$ une fois par rapport à $x,$

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xx}}}\,$ deux fois par rapport à $x,$

${\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xy}}}\,$ une fois par rapport à $x$ et une fois par rapport à $y,$ etc.

On ajoutera ensuite toutes les dérivées ainsi obtenues après avoir affecté du signe $+$ les dérivées d’ordre pair et du signe $-$ les dérivées d’ordre impair. On aura donc :

${\begin{aligned}\mathrm {P} =-{\frac {d}{dx}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{x}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{y}}}-{\frac {d}{dz}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '_{z}}}+{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xx}}}&+\ldots \\+{\frac {d^{2}}{dx\,dy}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi ''_{xy}}}+\ldots -{\frac {d^{3}}{dx^{3}}}{\frac {d\mathrm {W} _{2}}{d\xi '''_{xxx}}}&-\ldots \\\end{aligned}}$