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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

finie, est comparable avec les dimensions du parallélipipède élémentaire, c’est-à-dire très petite par rapport à $\lambda \,;$ par conséquent $\lambda$ sera exprimée par un nombre très grand, et $\mu ,$ qui est l’inverse de $\lambda ,$ sera un nombre très petit. Il en résulte que, si nous développons $v$ suivant les puissances croissantes de $\mu ,$ nous obtiendrons une série dont les termes tendront rapidement vers zéro ; il nous suffira donc de calculer les coefficients des premiers termes de cette série pour avoir une valeur de $v$ suffisamment approchée.

135. Voyons comment on obtiendra ces coefficients.

Nous pouvons écrire le développement de $v,$

$v=\mu v_{1}+\mu ^{2}v_{2}+\mu ^{3}v_{3}+\mu ^{4}v_{4}+\ldots$

$v_{1},\,v_{2},\,v_{3},\dots$ étant comme $v$ des fonctions périodiques de $z\,;$ nous en tirons

$v^{2}=\mu ^{2}v_{1}^{2}+2\mu ^{3}v_{1}v_{2}+\mu ^{4}(v_{3}^{2}+2v_{1}v_{3})+\mu ^{5}(2v_{1}v_{4}+2v_{2}v_{3})+\ldots$

et

${\frac {dv}{dz}}=\mu {\frac {dv_{1}}{dz}}+\mu ^{2}{\frac {dv_{2}}{dz}}+\mu ^{3}{\frac {dv_{3}}{dz}}+\mu ^{4}{\frac {dv_{4}}{dz}}+\ldots$

En portant ces valeurs dans l’équation (1), nous obtiendrons dans le premier membre un développement ordonné suivant les puissances croissantes de $\mu .$ Ce développement devant être nul quel que soit $\mu ,$ les coefficients des diverses puissances de $\mu$ doivent se réduire à 0. Nous avons donc

(2)	${\frac {dv_{1}}{dz}}=0$
(3)	${\frac {dv_{2}}{dz}}+v_{1}^{2}+\rho =0$