Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/217

203

POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION

L’indice de réfraction $n$ étant inversement proportionnel à la vitesse de propagation, il sera proportionnel au rapport $-{\frac {v^{0}}{i\mu }}\cdot$ Si donc nous désignons par $v_{1}^{0},$ $v_{2}^{0},$ $v_{3}^{0},\dots$ les valeurs moyennes des fonctions $v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3},\dots$ qui entrent dans le développement de $v$ par rapport aux puissances de $\mu ,$ l’indice de réfraction est proportionnel à

$iv_{1}^{0}+i\mu v_{2}^{0}+i\mu ^{2}v_{3}^{0}+i\mu ^{3}v_{4}^{0}+\ldots$

Montrons que cette expression est réelle. L’équation (3) donne pour la valeur de $v_{1}$ la racine carrée de la valeur moyenne de $-\rho \,;$ c’est donc une quantité imaginaire. Désignons-là par $-ia.$ Quant à la valeur moyenne de $v_{2},$ nous avons vu qu’elle était nulle. L’équation (5) nous montre que la valeur moyenne du produit $v_{1}v_{3}$ est égale, au signe près, à la valeur moyenne de $v_{2}^{2}\,;$ $v_{2}^{2}$ étant essentiellement positif, il en sera de même de sa valeur moyenne. La valeur moyenne de $v_{1}v_{3}$ est donc positive, et cette quantité divisée par la valeur $-ia$ de $v_{1}$ donnera pour $v_{3}^{0}$ une quantité purement imaginaire $-ib.$ Pour avoir $v_{4}^{0},$ prenons l’équation (6). Il résulte de cette équation que $v_{1}v_{4}^{0}$ est égal, au signe près, à la valeur moyenne de $v_{2}v_{3}.$ Or, en multipliant le premier membre de l’équation (4) par $v_{3},$ on obtient

$2v_{1}v_{2}v_{3}=-v_{3}{\frac {dv_{3}}{dz}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {dv_{3}^{2}}{dz}}\cdot$

Le second membre de cette nouvelle équation étant la dérivée d’une fonction périodique a pour valeur moyenne zéro ; il en résulte, puisque $v_{1}$ est une constante, que la valeur moyenne de $v_{2}v_{3}$ est nulle. Il en sera de même de la valeur moyenne de