Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/318

Cette page a été validée par deux contributeurs.

304

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si $\mathrm {L,\,M}$ et $\mathrm {N}$ devaient être des constantes $\mathrm {L_{0},\,M_{0},\,N_{0}} ,$ ces constantes et $\mathrm {V}$ devraient satisfaire aux équations

(2)

{\begin{array}{c}\;\;{\dfrac {\mathrm {V} ^{2}\mathrm {L} _{0}}{a}}=\mathrm {L} _{0}-\alpha \mathrm {H} ,\quad {\dfrac {\mathrm {V} ^{2}\mathrm {M} _{0}}{b}}=\mathrm {M} _{0}-\beta \mathrm {H} ,\quad {\dfrac {\mathrm {V} ^{2}\mathrm {N} _{0}}{c}}=\mathrm {N} _{0}-\gamma \mathrm {H} .\\[1ex]\mathrm {H} =\alpha \mathrm {L} _{0}+\beta \mathrm {M} _{0}+\gamma \mathrm {N} _{0}.\\\end{array}}

Posons alors :

{\begin{aligned}\mathrm {L} &=\mathrm {L} _{0}f+g,&\mathrm {M} &=\mathrm {M} _{0}f+h,&\mathrm {N} &=\mathrm {N} _{0}f,\end{aligned}}

et cherchons à déterminer les trois fonctions $f,g$ et $h$ .

Pour obtenir ces trois fonctions, substituons dans les équations du mouvement à la place de $\xi ,\,\eta ,\,\zeta ,$ leurs valeurs, c’est-à-dire,

{\begin{aligned}\xi &=(\mathrm {L} _{0}f+g)e^{\mathrm {P} },&\eta &=(\mathrm {M} _{0}f+h)e^{\mathrm {P} },&\zeta &=\mathrm {N} _{0}fe^{\mathrm {P} }.\end{aligned}}

Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles entre $f,$ $g$ et $h.$ D’après leur mode de formation ces équations seront :

1^o Linéaires et homogènes par rapport à $f,$ $g$ et $h$ et à leurs dérivées partielles des deux premiers ordres ;

2^o À coefficients constants, après que l’on aura supprimé le facteur commun $e^{\mathrm {P} }.$

Éliminons maintenant $g$ et $h$ entre ces trois équations ; il restera une équation différentielle unique qui définira $f.$

Cette équation sera encore linéaire, homogène et à coefficients constants ; mais elle sera d’ordre supérieur au second.

Elle ne contiendra pas $f\,;$ car les équations du mouvement doivent être satisfaites quand on fait

f=1,\qquad g=h=0.

Elle ne changera pas quand on multipliera à la fois $\lambda ,\,x,\,y,\,z$