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DOUBLE RÉFRACTION

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Si maintenant nous cherchons les termes de $\mathrm {G}$ qui sont donnés par le terme $\alpha \eta '_{x}\xi _{xy}''$ de la fonction $\mathrm {W} _{2},$ l’un de ces termes s’obtiendra en dérivant d’abord par rapport à $\eta '_{x},$ puis en dérivant le résultat par rapport à $x$ et changeant le signe. En effectuant ces opérations on trouve comme nous l’avons annoncé, $-{\frac {\alpha d^{3}\xi }{dx^{2}dy}}\cdot$

192. Propagation d’une onde plane. — Étudions, en prenant pour point de départ les travaux de Neumann et de Mac-Cullagh, la propagation d’une onde plane dans un milieu hémièdre.

Les axes auxquels sont rapportées les équations du mouvement étant quelconques nous pouvons considérer l’onde plane comme parallèle au plan des $xy.$ Alors $\xi ,\,\eta ,\,\zeta$ ne dépendent plus que de $z$ et de $t,$ et les dérivées des déplacements par rapport à $x$ et $y$ disparaissent des équations du mouvement. Si les polynômes $\mathrm {F,\,G,\,H}$ étaient nuls, les vibrations seraient transversales ; la condition $\Theta =0$ donnerait ${\frac {d\zeta }{dz}}=0$ et les dérivées de $\zeta$ par rapport à $z$ disparaîtraient aussi des équations du mouvement. En général, quand $\mathrm {F,\,G}$ et $\mathrm {H}$ sont différents de zéro, il n’en est plus ainsi, mais les vibrations étant encore presque transversales on peut négliger ces dérivées.

Dans ces conditions les équations du mouvement dans le plan de l’onde sont

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=a\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+b\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}+\alpha \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\beta \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}},\\[1.5ex]{\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=b\,{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}+c\,{\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}-\beta \,{\frac {d^{3}\xi }{dz^{3}}}+\gamma \,{\frac {d^{3}\eta }{dz^{3}}}\,;\\\end{aligned}}$