Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/36

22

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

19. Il reste à chercher si ces quatre polynômes indépendants subsisteront dans le cas d’un corps parfaitement isotrope. Nous allons montrer qu’ils se réduisent à trois que nous appellerons polynômes isotropes.

Puisque dans un corps isotrope toutes les directions sont identiques, l’expression d’un polynôme isotrope ne doit pas changer quand on fait un changement quelconque de coordonnées en conservant la même origine ; la forme d’un polynôme isotrope doit être indépendante du choix des axes.

Fig. 2.

Soient $x,\,y,\,z$ les coordonnées d’une molécule $\mu$ (fig. 2) d’un milieu isotrope ; $x+\mathrm {D} x,$ $y+\mathrm {D} y,$ $z+\mathrm {D} z$ celles d’une molécule voisine $\mu '.$ Lorsque la molécule $\mu$ sera dérangée de sa position d’équilibre, elle viendra en $\mu _{1}$ dont les coordonnées sont $x+\xi ,$ $y+\eta ,$ $z+\zeta \,;$ la molécule $\mu '$ occupera le point $\mu '_{1}$ de coordonnées $x+\xi +\mathrm {D} x+\mathrm {D} \xi ,$ $y+\eta +\mathrm {D} y+\mathrm {D} \eta ,$ $z+\zeta +dz+d\zeta .$ Par le point $\mu$ menons la droite $\mu \mu ''$ égale et parallèle à $\mu _{1}\mu '_{1},$ et joignons $\mu '$ à $\mu ''.$ Par le point $\mathrm {O} ,$ origine