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ÉTUDE DES PETITS MOUVEMENTS

des coordonnées, traçons une droite $\mathrm {OM}$ égale et parallèle à $\mu \mu '$ et une droite $\mathrm {OP}$ égale et parallèle à $\mu '\mu ''\,;$ les coordonnées du point $\mathrm {M}$ seront $\mathrm {D} x,$ $\mathrm {D} y,$ $\mathrm {D} z\,;$ celles du point $\mathrm {P}$ seront $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta .$ En désignant par $l$ la longueur de la droite $\mathrm {OP} ,$ nous aurons :

(23)

$l^{2}=\mathrm {D} \xi ^{2}+\mathrm {D} \eta ^{2}+\mathrm {D} \zeta ^{2},$

et comme, d’après les équations (21), $\mathrm {D} \xi ,\,\mathrm {D} \eta ,\,\mathrm {D} \zeta$ sont des fonctions homogènes et du premier degré par rapport à $\mathrm {D} x,$ $\mathrm {D} y,$ $\mathrm {D} z,$ $l^{2}$ est une fonction homogène et du second degré par rapport aux coordonnées du point $\mathrm {M} .$ Par suite le lieu des points $\mathrm {M}$ tels que la longueur $\mathrm {OP}$ reste constante est un ellipsoïde dont le centre est en $\mathrm {O} .$ Le milieu étant isotrope on doit trouver le même ellipsoïde, quelle que soit la direction des axes. L’équation de l’ellipsoïde dépendra naturellement du choix des axes ; mais l’ellipsoïde lui-même ne changera pas quand on changera les trois plans de coordonnées. Or on sait que, si un ellipsoïde est fixe dans l’espace, il existe certaines fonctions des coefficients de son équation connues sous le nom d’invariants, qui sont indépendantes du choix des axes ; elles devront être des fonctions isotropes. L’un des invariants est la somme des carrés des coefficients des termes carrés. Pour le trouver, remplaçons dans l’équation (23) les quantités $\mathrm {D} \xi ,$ $\mathrm {D} \eta ,$ $\mathrm {D} \zeta$ par les valeurs (21). Nous aurons entre les coordonnées $\mathrm {D} x,$ $\mathrm {D} y,$ $\mathrm {D} z$ du point $\mathrm {M}$ une relation qui sera précisément l’équation de notre ellipsoïde et nous obtiendrons pour le coefficient de $\mathrm {D} x^{2}$ la somme :

${\xi '}_{x}^{2}+{\eta '}_{x}^{2}+{\zeta '}_{x}^{2}\,;$