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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

28. Expression de $\mathrm {W} _{1}$ en fonction des dérivées partielles. — La fonction $\mathrm {W} _{1}$ est le terme du premier degré du développement de la fonction $\mathrm {W}$ par rapport aux puissances croissantes des $\xi$ (13) ; cette dernière fonction peut comme la fonction $\mathrm {U} ',$ être développée par rapport aux puissances croissantes des $\rho ,$ et, en nous reportant aux relations (12) et (17), nous obtiendrons :

$\mathrm {W} _{1}=\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\rho _{1},$

la sommation s’étendant seulement aux molécules de l’élément de volume $d\tau .$ En remplaçant $\rho _{1},$ par sa valeur tirée de la relation (22), la fonction $\mathrm {W} _{1}$ devient :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathrm {W} _{1}=\xi '_{x}\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} x^{2}&+\eta '_{y}\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} y^{2}+\zeta '_{z}\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} z^{2}\\&+\left(\xi '_{y}+\eta '_{x}\right)\sum {\frac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {R} }}\,\mathrm {D} x\,\mathrm {D} y+\ldots \\\end{aligned}}$

C’est donc une fonction homogène et du premier degré par rapport aux neuf dérivées partielles.

29. Pressions extérieures. — Équations du mouvement. — Considérons une surface fermée $\mathrm {S}$ (fig. 1) divisant le milieu élastique en deux parties : l’une $\mathrm {R}$ intérieure à la surface, l’autre $\mathrm {R} '$ extérieure. Les diverses molécules de $\mathrm {R} '$ exercent des actions sur les molécules de $\mathrm {R} ,$ mais, le rayon de la sphère d’activité moléculaire étant très petit, il n’y a que les molécules de $\mathrm {R}$ voisines de la surface qui sont soumises aux actions de $\mathrm {R} '.$ Ces actions peuvent être remplacées par un système de forces appliquées aux éléments $d\omega$ de la surface $\mathrm {S}$ et qui, en