Page:Henri Poincaré - Théorie mathématique de la lumière, Tome 1, 1889.djvu/64

50

THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

lieu élastique a lieu dans le plan de l’onde, ce qui justifie la dénomination de mouvements transversaux donnée aux mouvements pour lesquels on a $\Theta =0.$

Les mouvements que nous avons appelés mouvements longitudinaux sont caractérisés par les identités suivantes (35) :

$u={\frac {d\eta }{dz}}-{\frac {d\zeta }{dy}}=0,\quad v={\frac {d\zeta }{dx}}-{\frac {d\xi }{dz}}=0,\quad w={\frac {d\xi }{dy}}-{\frac {d\eta }{dx}}=0.$

Dans le cas des ondes planes ces conditions se réduisent à

${\frac {d\eta }{dz}}=0,\qquad \qquad {\frac {d\xi }{dz}}=0.$

Au même instant $t,$ les composantes $\xi$ et $\eta$ des déplacements de toutes les molécules sont donc les mêmes ; si nous les supposons nulles, le déplacement des molécules a lieu suivant une perpendiculaire au plan de l’onde ; c’est pourquoi nous avons appelé mouvements longitudinaux les mouvements qui satisfont aux conditions précédentes.

41. Les équations (39) des mouvements transversaux dans les corps isotropes se simplifient dans le cas de la propagation par ondes planes ; les quantités $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta$ ne dépendant ni de $x,$ ni de $y,$ on a, pour le mouvement de la molécule dans le plan de l’onde,

${\begin{aligned}-\rho {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=2\mu {\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}},\\[1.5ex]-\rho {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=2\mu {\frac {d^{2}\eta }{dz^{2}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Si nous posons :

$\mathrm {V} ={\sqrt {-{\frac {2\mu }{\rho }}}},$