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THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

50. Résolution des équations des mouvements transversaux. — Les équations des mouvements transversaux s’obtiennent en faisant $\Theta =0$ dans les équations (1) ; elles sont

(2)

${\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \xi ,\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \eta ,\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=\mathrm {V} ^{2}\Delta \zeta .$

Nous allons chercher à satisfaire à ces équations en posant

$\xi =\mathrm {A} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \eta =\mathrm {B} e^{\mathrm {P} },\qquad \qquad \zeta =\mathrm {C} e^{\mathrm {P} },$

$\mathrm {A,\,B,\,C,}$ étant des constantes et $\mathrm {P}$ un polynôme du premier degré et homogène par rapport aux variables $x,$ $y,$ $z,$ $t,$

$\mathrm {P} =\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta t.$

Nous aurons, en différentiant $\xi ,\eta ,\zeta ,$

${\begin{alignedat}{6}{\frac {d\xi }{dx}}&=\mathrm {A} \alpha e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}&=\mathrm {A} \alpha ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\xi }{dt^{2}}}&=\mathrm {A} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\eta }{dy}}&=\mathrm {B} \beta e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dy^{2}}}&=\mathrm {B} \beta ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\eta }{dt^{2}}}&=\mathrm {B} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} },\\[1.5ex]{\frac {d\zeta }{dz}}&=\mathrm {C} \gamma e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dz^{2}}}&=\mathrm {C} \gamma ^{2}e^{\mathrm {P} },&\qquad {\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}&=\mathrm {C} \delta ^{2}e^{\mathrm {P} }.\\\end{alignedat}}$

Par conséquent

$\Theta ={\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {d\eta }{dy}}+{\frac {d\zeta }{dz}}=\left(\mathrm {A} \alpha +\mathrm {B} \beta +\mathrm {C} \gamma \right)e^{\mathrm {P} }$

$\Delta \xi ={\frac {d^{2}\xi }{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}\xi }{dz^{2}}}=\mathrm {A} e^{\mathrm {P} }\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).$

En remplaçant, dans les équations (2), $\Delta \xi ,\,\Delta \eta ,\,\Delta \zeta$ et les dérivées secondes de $\xi ,$ $\eta ,$ $\zeta ,$ par rapport au temps, par leurs valeurs, on obtient :

$\delta ^{2}=\mathrm {V} ^{2}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right).$