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seconde situation, en sorte que l’on ait

$\mathrm {PH=90^{\circ }-\alpha ,\quad PH'=90^{\circ }-\alpha ',\quad HPH'} =\beta '-\beta ,$

et qu’on nomme $\omega$ la distance $\mathrm {HH} '$ des deux pôles, on aura

$\cos \omega =\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha ',$

et par conséquent

$\Gamma ={\sqrt {w^{2}+2ww'\cos \omega +w'^{2}}}.$

Les mêmes équations donnent ensuite ces deux-ci

${\begin{aligned}\Gamma &\left[\cos \alpha \cos \mathrm {A} \cos(\beta -\mathrm {B} )+\sin \alpha \sin \mathrm {A} \right]\\&=w+w'\left[\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha '\right],\\\Gamma &\left[\cos \alpha '\cos \mathrm {A} \cos(\beta '-\mathrm {B} )+\sin \alpha '\sin \mathrm {A} \right]\\&=w'+w\left[\cos \alpha \cos \alpha '\cos(\beta -\beta ')+\sin \alpha \sin \alpha '\right].\end{aligned}}$

Or, en tirant (fig. 8, p. 349) des pôles $\mathrm {H}$ et $\mathrm {H} '$ au pôle $\mathrm {G}$ de la somme des parallaxes, les arcs de grand cercle $\mathrm {HG}$ et $\mathrm {H'G} ,$ et nommant ces arcs $\chi$ et $\chi ',$ on aura

${\begin{aligned}cos\chi \ =&\cos \alpha \ \cos \mathrm {A} \cos(\beta \ -\mathrm {B} )+\sin \alpha \ \sin \mathrm {A} ,\\cos\chi '=&\cos \alpha '\cos \mathrm {A} \cos(\beta '-\mathrm {B} )+\sin \alpha '\sin \mathrm {A} ,\\\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}cos\chi \ =&{\frac {w+w'\cos w}{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos w+w'^{2}}}},\\cos\chi '=&{\frac {w\cos w+w'}{\sqrt {w^{2}+2ww'\cos w+w'^{2}}}}.\end{aligned}}$

Ainsi, connaissant dans le triangle $\mathrm {HGH'}$ les trois côtés $\mathrm {HH'} =\omega ,$ $\mathrm {HG} =\chi$ et $\mathrm {H'G} =\chi ',$ on trouvera la position du pôle $\mathrm {G} .$

Au reste, si l’on voulait connaître les valeurs de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B} ,$ c’est-à-dire la latitude et la longitude même du pôle $\mathrm {G} ,$ on trouverait immédiatement, par les équations du numéro précédent,

$\operatorname {tang} \mathrm {B} ={\frac {w\cos \alpha \sin \beta +w'\cos \alpha '\sin \beta '}{w\cos \alpha \cos \beta +w'\cos \alpha '\cos \beta '}},$