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tions, dès qu’on en connaît une seule, ne renferment pas toujours et ne sauraient renfermer toutes les solutions possibles, à moins que $\mathrm {A}$ ne soit un nombre premier (voyez plus bas le n^o 45).

Les recherches que j’ai faites depuis quelque temps sur cette matière m’ont conduit à des méthodes directes, générales et nouvelles, pour résoudre les équations de la forme $\mathrm {A+B} t^{2}=u^{2},$ et en général toutes les équations du second degré à deux inconnues, soit que les inconnues puissent être des nombres quelconques entiers ou fractionnaires, soit qu’elles doivent être des nombres entiers. Ce sont ces méthodes qui font l’objet de ce Mémoire ; je les crois d’autant plus dignes de l’attention des Mathématiciens qu’elles laissent encore un vaste champ à leurs recherches.

§ I. — De la manière de ramener toute équation du second degré à deux inconnues à cette forme $\mathrm {A} =u^{2}-\mathrm {B} t^{2},$ et des cas dans lesquels les équations de cette forme peuvent se résoudre par les méthodes connues.

1. Soit

$\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}+\delta x+\varepsilon y+\zeta =0$

l’équation générale proposée dans laquelle $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\varepsilon$ et $\zeta$ soient des nombres donnés entiers, positifs ou négatifs (il est évident que si les coefficients $\alpha ,\beta ,\ldots$ n’étaient pas des nombres entiers, on pourrait toujours les rendre tels en faisant évanouir tous les dénominateurs par la multiplication), et où $x$ et $y$ soient les deux inconnues qu’il s’agit de déterminer, en sorte qu’elles soient exprimées par des nombres rationnels. Qu’on tire de cette équation la valeur de l’une des deux inconnues, comme $x$ et l’on aura

$2\alpha x+\beta y+\delta ={\sqrt {(\beta y+\delta )^{2}-4\alpha \left(\gamma y^{2}+\varepsilon y+\zeta \right)}},$

d’où l’on voit que la question se réduit à déterminer $y$ en sorte que la