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qu’on les ajoute ensemble, on aura

${\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}d\left(u^{2}\right)d^{2}\left(u^{2}\right)+u^{2}d(v^{2})d^{2}(v^{2})}{dt^{2}}}-\mathrm {A} \left[2v^{2}du+{\frac {3}{2}}ud\left(v^{2}\right)+{\frac {\left(f^{2}-v^{2}\right)d\left(v^{2}\right)}{2u}}\right]$

$-\mathrm {B} \left[2u^{2}dv+{\frac {3}{2}}vd\left(u^{2}\right)+{\frac {\left(f^{2}-u^{2}\right)d\left(u^{2}\right)}{2v}}\right]$

Cette équation étant multipliée par $2$ et ensuite ajoutée à l’équation (E) multipliée par $d\left(u^{2}\right)+d\left(v^{2}\right),$ on aura

${\frac {1}{2}}d\left[{\frac {v^{2}[d\left(u^{2}\right)]^{2}+u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2}}{dt^{2}}}\right]-\mathrm {A} \left[6u^{2}du+6d\left(uv^{2}\right)-2f^{2}du\right]$

$-\mathrm {B} \left[6v^{2}dv+6d\left(vu^{2}\right)-2f^{2}dv\right]$

$=2\mathrm {C} \left[d\left(u^{2}+v^{2}\right)^{2}+4d\left(u^{2}v^{2}\right)\right]+2\mathrm {D} d\left(u^{2}+v^{2}\right),$

dont l’intégrale est évidemment

(F)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {v^{2}[d\left(u^{2}\right)]^{2}+u^{2}\left[d\left(v^{2}\right)\right]^{2}}{dt^{2}}}&-2\mathrm {A} \left(u^{3}+3uv^{2}-f^{2}u\right)\\&-2\mathrm {B} \left(v^{3}+3vu^{2}-f^{2}v\right)\\=2\mathrm {C} \left(u^{4}+v^{4}+6u^{2}v^{2}\right)&+2\mathrm {D} \left(u^{2}+v^{2}\right)+2\mathrm {E} ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {E}$ étant une constante indéterminée.

Or, si à cette équation on ajoute l’équation (E) multipliée par $2uv,$ ou qu’on l’en retranche, on aura ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&{\frac {\left[vd\left(u^{2}\right)+ud\left(v^{2}\right)\right]^{2}}{dt^{2}}}-2(\mathrm {A+B} )\left[(u+v)^{3}-f^{2}(u+v)\right]\\&=2\mathrm {C} (u+v)^{4}+2\mathrm {D} (u+v)^{2}+2\mathrm {E} ,\\{\frac {1}{2}}&{\frac {\left[vd\left(u^{2}\right)+ud\left(v^{2}\right)\right]^{2}}{dt^{2}}}-2(\mathrm {A-B} )\left[(u-v)^{3}-f^{2}(u-v)\right]\\&=2\mathrm {C} (u-v)^{4}+2\mathrm {D} (u-v)^{2}+2\mathrm {E} ,\end{aligned}}$

d’où, en faisant pour plus de simplicité

${\begin{alignedat}{2}u+v=&p,&u-v=&q,\\\mathrm {A+B} =&\mathrm {M} ,\qquad &\mathrm {A-B} =&N,\end{alignedat}}$

on tire

(G)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {uvdp}{dt}}=&{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }},\\{\frac {uvdq}{dt}}=&{\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }},\end{aligned}}\right.$