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et les équations (B), (E) et (F) donneront

$i^{2}-{\frac {2\mathrm {A} }{g}}-{\frac {2\mathrm {B} }{h}}=4\mathrm {C} ,$

$2ghmn-\mathrm {A} \left(3g+{\frac {h^{2}-f^{2}}{g}}\right)-\mathrm {B} \left(3h+{\frac {g^{2}-f^{2}}{h}}\right)=4\mathrm {C} \left(g^{2}+h^{2}\right)+2\mathrm {D} ,$

${\begin{aligned}g^{2}&h^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)-\mathrm {A} \left(g^{3}+3gh^{2}-f^{2}g\right)-\mathrm {B} \left(h^{3}+3hg^{2}-f^{2}h\right)\\&=\mathrm {C} \left(g^{4}+h^{4}+6g^{2}h^{2}\right)+\mathrm {D} \left(g^{2}+h^{2}\right)+\mathrm {E} \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\mathrm {C} =&{\frac {i^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {A} }{2g}}-{\frac {\mathrm {B} }{2h}},\\\mathrm {D} =&ghmn-{\frac {\left(g^{2}+h^{2}\right)i^{2}}{2}}-{\frac {\mathrm {A} }{2g}}\left(g^{2}-h^{2}-f^{2}\right)-{\frac {\mathrm {B} }{2h}}\left(h^{2}-g^{2}-f^{2}\right),\\\mathrm {E} =&g^{2}h^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)-gh\left(g^{2}+h^{2}\right)mn\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {\left(g^{2}-h^{2}\right)^{2}i^{2}}{4}}+{\frac {f^{2}\left(g^{2}-h^{2}\right)}{2}}\left({\frac {\mathrm {A} }{g}}-{\frac {\mathrm {B} }{h}}\right)\,;\end{aligned}}$

et comme $\mathrm {K} ^{2}=-\mathrm {C} f^{4}-\mathrm {D} f^{2}-\mathrm {E} ,$ on aura

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {i^{2}}{4}}\left[4f^{2}g^{2}-\left(g^{2}-h^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]-g^{2}h^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)+gh\left(g^{2}+h^{2}-f^{2}\right)mn.$

Si, au lieu de la vitesse $i$. on veut introduire la vitesse que le corps a pour tourner autour de la ligne des centres, on nommera cette vitesse $l,$ l’équation (K) donnera

$l={\frac {4f\mathrm {K} }{4f^{2}g^{2}-\left(g^{2}-h^{2}+f^{2}\right)^{2}}},$

d’où l’on aura

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {\left[4f^{2}g^{2}-\left(g^{2}-h^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]l^{2}}{16f^{2}}},$

donc

$i^{2}={\frac {\left[4f^{2}g^{2}-\left(g^{2}-h^{2}+f^{2}\right)^{2}\right]l^{2}}{4f^{2}}}+{\frac {4g^{2}h^{2}\left(m^{2}+n^{2}\right)-4gh\left(g^{2}+h^{2}-f^{2}\right)mn}{4f^{2}g^{2}-\left(g^{2}-h^{2}+f^{2}\right)^{2}}}\,;$

ainsi, il n’y aura qu’à substituer cette valeur dans celles des quantités $\mathrm {C,D,E} ,$ que nous avons trouvées plus haut.