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qu’en faisant $p=\alpha ,$ la valeur de

$\int {\frac {dp}{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}$

restera indéterminée, et qu’ainsi l’équation (H) aura toujours lieu quelle que soit d’ailleurs la valeur de $q$.

Donc, lorsque les constantes $\mathrm {C,D,E}$ sont telles, que les deux équations (X) aient lieu en même temps, on pourra supposer $p=\alpha ,$ et les deux autres équations du Problème seront

${\begin{aligned}dt=&{\frac {\left(\alpha ^{2}-q^{2}\right)dq}{4{\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }}}},\\d\varphi =&{\frac {f\mathrm {K} \left(\alpha ^{2}-q^{2}\right)dq}{\left(f^{2}-\alpha ^{2}\right)\left(q^{2}-f^{2}\right){\sqrt {\mathrm {C} q^{4}+\mathrm {N} q^{3}+\mathrm {D} q^{2}-\mathrm {N} f^{2}q+\mathrm {E} }}}}.\end{aligned}}$

Or, puisque $p=u+v,$ il est visible que la courbe décrite par le corps sera une ellipse mobile autour de son grand axe, et dont les foyers tomberont dans les deux centres des forces.

On prouvera de la même manière que si les équations (Y) ont lieu et qu’on fasse $q=\lambda ,$ l’équation (H) aura lieu quelle que soit la valeur de $p,$ et que les deux autres équations du Problème deviendront

${\begin{aligned}dt=&{\frac {\left(p^{2}-\lambda ^{2}\right)dp}{4{\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}},\\d\varphi =&{\frac {f\mathrm {K} \left(p^{2}-\lambda ^{2}\right)dp}{\left(f^{2}-\lambda ^{2}\right)\left(p^{2}-f^{2}\right){\sqrt {\mathrm {C} p^{4}+\mathrm {M} p^{3}+\mathrm {D} p^{2}-\mathrm {M} f^{2}p+\mathrm {E} }}}}\,;\end{aligned}}$

et comme $q=u-v,$ on voit que la courbe ne sera autre chose qu’une hyperbole mobile autour de son axe, et ayant ses deux foyers dans les centres mêmes des forces.

XIV.

Si l’un des centres des forces s’éloignait à l’infini, alors la force tendant à ce centre infiniment distant deviendrait uniforme et agirait suivant des lignes parallèles ; ainsi l’on aurait le cas d’un corps attiré vers un centre fixe par une force réciproquement proportionnelle aux carrés