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${\begin{aligned}\mathrm {M} '&=x^{(n+1)}+x^{(n+2)}+x^{(n+3)}+\ldots +x^{(2n)},\\\mathrm {N} '&=x^{(n+1)}x^{(n+2)}+x^{(n+1)}x^{(n+3)}+x^{(n+2)}x^{(n+3)}+\ldots +x^{(2n-1)}x^{(2n)},\\\mathrm {P} '&=x^{(n+1)}x^{(n+2)}x^{(n+3)}+x^{(n+1)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}+x^{(n+2)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}+\ldots \\&+x^{(2n-2)}x^{(2n-1)}x^{(2n)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\alpha =&x'+x''+x+'''\ldots +x^{(n)}+x^{(n+1)}+x^{(n+2)}+x^{(n+3)}+\ldots +x^{(2n)}=\mathrm {A} ,\\\\\beta =&x'x''+x'x'''+x''x'''+\ldots +x^{(n-1)}x^{(n)}+x^{(n+1)}x^{(n+2)}+x^{(n+1)}x^{(n+3)}\\&+x^{(n+2)}x^{(n+3)}+\ldots +x^{(2n-1)}x^{(2n)},\\\\\gamma =&x'x''x'''+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +x^{(n-2)}x^{(n-1)}x^{(n)}+x^{(n+1)}x^{(n+2)}x^{(n+3)}\\&+x^{(n+1)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}+x^{(n+2)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}+\ldots +x^{(2n-2)}x^{(2n-1)}x^{(2n)},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

${\begin{aligned}\mu =&x'+x''+x+'''\ldots +x^{(n)}-x^{(n+1)}-x^{(n+2)}-x^{(n+3)}-\ldots -x^{(2n)},\\\\\nu =&x'x''+x'x'''+x''x'''+\ldots +x^{(n-1)}x^{(n)}-x^{(n+1)}x^{(n+2)}-x^{(n+1)}x^{(n+3)}\\&-x^{(n+2)}x^{(n+3)}-\ldots -x^{(2n-1)}x^{(2n)},\\\\\varpi =&x'x''x'''+x'x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+x''x'''x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\ldots +x^{(n-2)}x^{(n-1)}x^{(n)}-x^{(n+1)}x^{(n+2)}x^{(n+3)}\\&-x^{(n+1)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}-x^{(n+2)}x^{(n+3)}x^{(n+4)}-\ldots -x^{(2n-2)}x^{(2n-1)}x^{(2n)},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, puisque

$u=a\mu +b\nu +c\varpi +\ldots$

on connaîtra quelle fonction des racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)}$ doit être la quantité $u\,;$ et de là on pourra déterminer à priori le degré et la forme de l’équation en $u$ par la considération de ses racines, lesquelles ne seront autre chose que les différentes valeurs que la fonction dont il s’agit pourra recevoir, en faisant entre les racines $x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)}$ toutes les permutations possibles, comme nous l’avons expliqué suffisamment ailleurs.

29. Donc :

1^o Comme le nombre des quantités $x',x'',x''',\ldots ,x^{(2n)}$ est $2n,$ on sait