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devant être la plus grande dans l’état d’équilibre du système, il faudra que $u$ soit alors un maximum.

Ainsi l’on aura en général, pour l’équilibre du système, soit que la quantité $u$ soit un maximum ou un minimum, la condition

$u'=0,\quad {\text{et par conséquent}}\quad 2ax'+2by'+2cz'+\ldots =0,$

les fonctions primes $x',y',z',\ldots$ se rapportant à chacune des variables d’où dépendent les quantités $x,y,z.$

L’équation précédente, étant multipliée par ${\frac {\mathrm {P} }{2}},$ devient

$a\mathrm {P} x'+b\mathrm {P} y'+c\mathrm {P} z'+\ldots =0,$

équation générale du principe des vitesses virtuelles pour un système de points tirés par les forces $a\mathrm {P} ,$ $b\mathrm {P} ,$ $c\mathrm {P} ,$ suivant les directions des lignes $x,y,z,$ puisque les fonctions primes $x',y',z',\ldots$ ne sont autre chose que les vitesses que les points du système pourraient recevoir, suivant la direction de ces mêmes lignes, par un changement quelconque de position du système. [Voir le n^o 210^[1] de la Théorie des fonctions, auquel ce que nous venons de démontrer peut servir de supplément.]

Quoique la démonstration précédente suppose la commensurabilité des puissances, elle n’en est pas moins générale pour des puissances quelconques, et il ne serait pas difficile de l’appliquer aux puissances incommensurables par les raisonnements connus ; mais nous ne nous y arrêterons pas.

J’ajouterai seulement, par rapport aux cas d’équilibre où la descente du poids serait un minimum, que ces sortes d’équilibres peuvent toujours se ramener à l’équilibre du maximum, en prenant les forces dans des directions contraires à leurs directions propres ; car on sait que, si

1. Il s’agit ici de la première édition de la Théorie des fonctions. (Voir le n^o 30 du Chapitre V de la troisième Partie de l’Ouvrage, pour la deuxième édition.)
   (Note de l’Éditeur.)