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et continuant de cette manière on conclura que $\operatorname {F} (x_{n})$ s’annulera pour les $2^{n}$ valeurs de $x_{n}$ auxquelles conduit le système de toutes les équations (A) ou pour les $2^{n}$ racines de $f(x)=0.$ Ainsi une équation $\operatorname {F} (x)=0$ à coefficients rationnels ne peut admettre une racine de $f(x)=0$ sans les admettre toutes ; donc l’équation $f(x)=0$ est irréductible.

IV.

Il résulte immédiatement du théorème précédent que tout problème qui conduit à une équation irréductible dont le degré n’est pas une puissance de $2,$ ne peut être résolu avec la ligne droite et le cercle. Ainsi la duplication du cube, qui dépend de l’équation $x^{3}-2a^{3}=0$ toujours irréductible, ne peut être obtenue par la Géométrie élémentaire. Le problème des deux moyennes proportionnelles, qui conduit à l’équation $x^{3}-a^{2}b=0$ est dans le même cas toutes les fois que le rapport de $b$ à $a$ n’est pas un cube. La trisection de l’angle dépend de l’équation $x^{3}-{\frac {3}{4}}x+{\frac {1}{4}}a=0\,;$ cette équation est irréductible si elle n’a pas de racine qui soit une fonction rationnelle de $a$ et c’est ce qui arrive tant que $a$ reste algébrique ; ainsi le problème ne peut être résolu en général avec la règle et le compas. Il nous semble qu’il n’avait pas encore été démontré rigoureusement que ces problèmes si célèbres chez les anciens, ne fussent pas susceptibles d’une solution par les constructions géométriques auxquelles ils s’attachaient particulièrement.

La division de la circonférence en parties égales peut toujours se ramener à la résolution de l’équation $x^{m}-1=0$, dans laquelle $m$ est un nombre premier ou une puissance d’un nombre premier. Lorsque $m$ est premier, l’équation ${\frac {x^{m}-1}{x-1}}=0$ du degré $m-1$ est irréductible, comme M. Gauss l’a fait voir dans ses Disquisitiones arithmeticæ, section VII ; ainsi la division ne peut être effectuée par des constructions géométriques que si $m-1=2^{\alpha }$. Quand $m$ est de la forme $a^{\alpha }$, on peut prouver, en modifiant légèrement la démonstration de M. Gauss que l’équation de degré $(a-1)a^{\alpha -1}$, obtenue en égalant à zéro le quotient de $x^{a^{\alpha }}-1$ par $x^{a^{\alpha -1}}-1$, est irréductible ; il faudrait donc que $(a-1)a^{\alpha -1}$ fût de la forme $2^{n}$ en même temps que $a-1,$ ce qui est impossible à moins que $a=2.$ Ainsi, la division de la circonférence en ${\rm {N}}$ parties ne peut être effectuée avec la règle et le compas que si les facteurs premiers de ${\rm {N}}$ différents de $2$ sont de la forme $2^{n}+1$ et s’ils entrent seulement à la première puissance dans ce nombre. Ce