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principe est annoncé par M. Gauss à la fin de son ouvrage, mais il n’en a pas donné la démonstration.

Si l’on pose $x=k+{\rm {A}}'\,\,{\sqrt[{m'}]{a'}}+{\rm {A}}''\,\,{\sqrt[{m''}]{a''}}+\ldots$, $m'$, $m''$, $\ldots$, étant des puissances de $2$, et $k$, ${\rm {A}}'$, ${\rm {A}}''$, $\ldots$, $a'$, $a''$, $\ldots$ des nombres commensurables, la valeur de $x$ se construira par la ligne droite et le cercle, en sorte que $x$ ne peut être racine d’une équation irréductible d’un degré $m$ qui ne soit pas une puissance de $2.$ Par exemple, on ne peut avoir, $x={\rm {A}}{\sqrt[{m}]{a}}$, si $({\sqrt[{m}]{a}})^{p}$ est irrationnel pour $p<m$ ; on démontrerait facilement que $x$ ne peut prendre cette valeur lors même que $m$ serait une puissance de $2.$ Nous retrouvons ainsi plusieurs cas particuliers des théorèmes sur les nombres incommensurables que nous avons établis ailleurs^[1].

V.

Supposons qu’un problème ait conduit à une équation de degré $2^{n},\ \operatorname {F} (x)=0$ et qu’on se soit assuré que cette équation est irréductible ; il s’agit de reconnaître si la solution peut s’obtenir au moyen d’une série d’équations du second degré.

Reprenons les équations (A) :

(A)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}x_{1}^{2}+{\rm {A}}x_{1}+{\rm {B=}}&\,0,&x_{2}^{2}+{\rm {A}}_{1}x_{2}+{\rm {B_{1}=}}&\,0\ldots ,\\x_{n-1}^{2}+{\rm {A}}_{n-2}x_{n-1}+{\rm {B}}_{n-2}=&\,0,\qquad &x_{n}^{2}+{\rm {A}}_{n-1}x_{n}+{\rm {B}}_{n-1}=&\,0\end{alignedat}}\right.$

Il faudra construire l’équation $f(x)=0$, à coefficients rationnels, qui donne toutes les valeurs de $x_{n}$ et l’identifier avec l’équation donnée $\operatorname {F} (x)=0.$ Pour faire ce calcul on remarque que ${\rm {A}}_{n-1}$ et ${\rm {B}}_{n-1}$ se ramènent à la forme $a_{n-1}x_{n-1}+a'_{n-1},$ et $b_{n-1}x_{n-1}+b'_{n-1}$, en sorte que l’élimination de $x_{n-1}\,$ entre les deux dernières équations (A) se fait immédiatement, ce qui donne une équation du quatrième degré en $x_{n}$ ; on y remplacera ensuite $a_{n-1}$ par $a''_{n-1}x_{n-2}+a_{n-1}^{'''}$, $a'_{n-1}$ par $a_{n-1}^{IV}x_{n-2}+a_{n-1}^{V}$, $b_{n-1}$ par $b''_{n-1}x_{n-2}+b_{n-1}^{'''}$, $b'_{n-1}$ par $b_{n-1}^{IV}x_{n-2}+b_{n-1}^{V}$ et ${\rm {A}}_{n-2}$, ${\rm {B}}_{n-2}$ par $a_{n-2}x_{n-2}+a'_{n-2}$, $b_{n-2}x_{n-2}+b'_{n-2}$, puis on éliminera $x_{n-2}$ entre l’équation du 4^e degré déjà obtenue et l’équation $x_{n-2}^{2}+{\rm {A}}_{n-3}x_{n-2}+{\rm {B}}_{n-3}=0$ ; et ainsi de suite. Les derniers termes des séries $a_{n-1}$, $a'_{n-1}$, $a''_{n-1}$, $\ldots$, $b_{n-1}$, $b'_{n-1}$, $\ldots$, etc., doivent être des fonctions rationnelles des coefficients de $\operatorname {F} (x)=0$ ; si l’on peut leur assigner des valeurs rationnelles qui satisfassent aux équations de condition obtenues en identifiant, on reproduira les équations (A) dont le système équivaut à l’équation

1. Journal de l’École Polytechnique, Cahier XXVI.