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ché. Démonstration. Le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur aussi BD, et qui représente le nombre de côtés du cube de BD, est égal au cube de BD. Et le solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur BC, et qui représente le nombre donné de carrés du cube de BD, est égal au solide ayant pour base le carré de BD et pour hauteur S, qui représente le nombre donné. Conséquemment le cube de BD, plus le nombre donné de ses carrés, est égal au nombre donné plus le nombre donné de côtés. Et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir. Mais on reconnaîtra aisément que dans ce cas il y aura aussi égalité entre le cube de BD plus le nombre donné, et le nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube ; en sorte que cette espèce rentre dans la catégorie de la troisième espèce, laquelle est : « Un cube et des nombres sont égaux à des carrés et des côtés. »

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 27, 2), nous faisons AB égale à S, et faisons passer la seconde hyperbole par le point C, en prenant son paramètre et son grand axe, tous les deux égaux à AC. Elle coupera nécessairement l’autre conique, le côté du cube sera encore BK, et le reste de la construction et de la démonstration est analogue à ce qui précède, si ce n’est que le carré de HK sera au carré KA comme AK à KC (*^[1]).

Il a été démontré que cette espèce présente des formes et des

Mais en même temps ${\overline {\text{BD}}}^{2}+a=c.{\overline {\text{BD}}}^{2}+b.BD$ , ce qui rentre dans la catégorie de l’éq. 25) $x^{3}+a=cx^{2}+bx$ .

↑ *) C’est-à-dire que les points A et c, tels qu’ils étaient dans la première figure, ont, si l’on veut, échangé leurs rôles. Mais en réalité la démonstration donnée ci-dessus s’applique rigoureusement aussi à la seconde figure, et l’on aura par rapport à celle-ci, comme auparavant, ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$ . — Le fait est que réellement rien n’est changé dans les deux coniques qui construisent l’équation ; seulement l’intersection considérée ici se fait sur l’autre branche de la seconde hyperbole. On peut passer du premier cas au second en faisant mouvoir A sur BC vers C et jusqu’au delà de C ; lorsque A et C coïncident ( $S=BC$ ),

[p92-2] *) C’est-à-dire que les points A et c, tels qu’ils étaient dans la première figure, ont, si l’on veut, échangé leurs rôles. Mais en réalité la démonstration donnée ci-dessus s’applique rigoureusement aussi à la seconde figure, et l’on aura par rapport à celle-ci, comme auparavant, ${\overline {\text{HK}}}^{2}:{\overline {\text{KA}}}^{2}=CK:AK$ . — Le fait est que réellement rien n’est changé dans les deux coniques qui construisent l’équation ; seulement l’intersection considérée ici se fait sur l’autre branche de la seconde hyperbole. On peut passer du premier cas au second en faisant mouvoir A sur BC vers C et jusqu’au delà de C ; lorsque A et C coïncident ( $S=BC$ ),

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