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BE. Ajoutons de part et d’autre le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BA, lequel nous avons fait égal au nombre donné. Alors le cube de BE, plus le solide dont la base est le carré de BD et la hauteur BE, lequel est égal au nombre donné de côtés du cube de BE, sera égal au nombre donné de carrés du même, plus le nombre donné. Et c’est ce qu’il s’agissait d’obtenir.

Lorsque S est égale à BC (*^[1]), BC sera le côté du cube cherché. Démonstration. Le cube de BC est égal au nombre donné de ses carrés, et le solide dont la hauteur est BC, et la base le carré de BD, est égal au nombre donné, et égal aussi au nombre donné de côtés du cube de BC. Conséquemment le cube de BC, plus le nombre donné de ses côtés, est égal au nombre donné de ses carrés plus le nombre donné. Mais ce cas rentre aussi dans la catégorie de la troisième espèce, parce que le nombre donné de côtés du cube de BC est égal au nombre donné, en sorte que le cube de BC, plus le nombre donné, est égal au nombre donné de carrés plus le nombre donné de côtés de ce cube.

Lorsque S est plus grande que BC (fig. 28, 2) (**^[2]), faisons BA égale à S, et décrivons le cercle sur AC comme diamètre. Alors

↑ *) 2) $S=BC$ ••• $x=BC$ . Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{2}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{2}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.S$ ou $b.BC=a$
___________________________
conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{3}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$
Mais en même temps ${\overline {\text{BC}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$ , ce qui rentre dans la catégorie de l’éq. 25) $x^{3}+a=c.x^{2}+b.x$ .
↑ **) 3) $S>BC$ (fig. 28, 2), $AB=S$ .
Hyperbole : $AD=KD,AD-ED=KD-ED$ ou $EZ=BK$
${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
__________________________________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}=EC:EA$ , ${\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{3}.EA.{\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$ , ${\overline {\text{BE}}}^{3}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EB={\overline {\text{BD}}}^{2}.AB+BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}+b.BE=a+c.{\overline {\text{BE}}}^{2}$ , $x=BE$ .

[1] *) 2) $S=BC$ ••• $x=BC$ . Démonstr. ${\overline {\text{BC}}}^{2}=BC.{\overline {\text{BC}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BC}}}^{2}=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}$
${\overline {\text{BD}}}^{2}.BC={\overline {\text{BD}}}^{2}.S$ ou $b.BC=a$
___________________________
conséquemment ${\overline {\text{BC}}}^{3}+b.BC=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+a$
Mais en même temps ${\overline {\text{BC}}}^{3}+a=c.{\overline {\text{BC}}}^{2}+b.BC$ , ce qui rentre dans la catégorie de l’éq. 25) $x^{3}+a=c.x^{2}+b.x$ .

[2] **) 3) $S>BC$ (fig. 28, 2), $AB=S$ .
Hyperbole : $AD=KD,AD-ED=KD-ED$ ou $EZ=BK$
${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}={\overline {\text{ZA}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}={\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}$
Cercle : ${\overline {\text{KE}}}^{2}:{\overline {\text{EA}}}^{2}=EC:EA$
__________________________________________________
${\overline {\text{BD}}}^{2}:{\overline {\text{BE}}}^{2}=EC:EA$ , ${\overline {\text{BE}}}^{2}.EC={\overline {\text{BD}}}^{2}.EA$
${\overline {\text{BE}}}^{3}={\overline {\text{BD}}}^{3}.EA.{\overline {\text{BE}}}^{2}.BC$ , ${\overline {\text{BE}}}^{3}+{\overline {\text{BD}}}^{2}.EB={\overline {\text{BD}}}^{2}.AB+BC.{\overline {\text{BE}}}^{2}$ ou ${\overline {\text{BE}}}^{3}+b.BE=a+c.{\overline {\text{BE}}}^{2}$ , $x=BE$ .

[1]

[2]