Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/111

51

ET LA PROPAGATION DU SON.

incumbens, et cujus densitas eadem sit cum densitate medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui autem intelligatur pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis, et centrum oscillationis sit $\mathrm {A} ,$ et quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu et reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiæ circuli radio $\mathrm {A}$ descripti æquale. Nam stantibus, quæ in Prop. XLVII constructa sunt, si lineola quævis physica $\mathrm {EF}$ singulis vibrationibus describendo spatium $\mathrm {PS}$ urgeatur in loco quovis $\varepsilon \varphi$ a vi elastica, quæ eadem omnino sit, quam proposita spatiorum, et temporum scala $\mathrm {PHS} h\mathrm {P}$ requirit seu $\mathrm {{\frac {QM-MR}{{\overline {HK}}^{2}}}M} ,$ denotante $\mathrm {M}$ massant, seu pondus lineolæ physicæ $\mathrm {EG} ,$ peraget hæc vibrationes singulas tempore $\mathrm {PHS} ,$ et oscillationes integras tempore $\mathrm {PHS} h\mathrm {P} \,;$ id adeo, quia vires æquales æequalia corpuscula per æqualia spatia simul impellent...... Sed vis elastica, qua lineola physica $\mathrm {EG}$ in loco quovis $\varepsilon \gamma$ existens urgetur erat (in demonstratione Prop. XLVII) ad ejus vim totam elasticam, ut $\mathrm {QM-MR}$ ad $\mathrm {EG} \,;$ et vis illa tota, hoc est pondus incumbens, quo lineola $\mathrm {EG}$ comprimitur est ad pondus lineolæ, ut ponderis incumbentis altitudo $\mathrm {A}$ ad lineolæ longitudinem $\mathrm {EG} ,$ adeoque ex æquo vis, qua lineola $\mathrm {EG}$ in loco quovis $\varepsilon \gamma$ urgetur, est ad lineolæ illius pondus, ut $\mathrm {(QM-MR)A}$ ad $\mathrm {\overline {EG}} ^{2}$ hinc vis ista erit ad vim superius inventam $\mathrm {{\frac {QM-MR}{{\overline {HK}}^{2}}}M} ,$ ut $\mathrm {\frac {A}{{\overline {EG}}^{2}}}$ ad $\mathrm {\frac {1}{{\overline {HK}}^{2}}} .$ Porro

$\mathrm {HK=2KI} \quad et\quad \mathrm {EG=2EF} \,;$

unde quum ex constructione propositionis antecedentis habeatur

$\mathrm {\frac {KI}{EF}} ={\frac {\mathrm {PHS} h\mathrm {P} }{\mathrm {BC} }},$

erit etiam

$\mathrm {\frac {HK}{EG}} ={\frac {\mathrm {PHS} h\mathrm {P} }{\mathrm {BC} }}\,;$

unde proportio virium supra inventa transmutabitur in hanc

${\frac {\mathrm {\cfrac {A}{{\overline {BC}}^{2}}} }{\cfrac {1}{(\mathrm {PHS} h\mathrm {P} )^{2}}}}.$