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ces valeurs étant substituées, il en résultera

$\mathrm {M} _{\mu }={\frac {a^{\mu }-b^{\mu }}{a-b}}.$

Nous avons supposé (8) que le nombre des équations était $m-1\,;$ il faut donc que le coefficient qui aurait multiplié l’équation suivante soit de lui-même égal à zéro ; savoir, il faut que

$\mathrm {M} _{m}=0,\quad {\text{ou bien que}}\quad {\frac {a^{m}-b^{m}}{a-b}}=0.$

Voilà l’équation qui nous donnera la valeur de la quantité $\mathrm {R}$ qui était encore inconnue.

20. Pour résoudre cette équation, j’ai recours au fameux théorème de M. Cotes, par lequel on trouve

${\begin{aligned}a^{m}-b^{m}=&(a-b){\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {\varpi }{m}}+b^{2}}}{\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {2\varpi }{m}}+b^{2}}}\\&\times {\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {3\varpi }{m}}+b^{2}}}\ldots ,\end{aligned}}$

en prenant un nombre de facteurs égal à $m,$ de sorte que le dernier devienne

${\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {(m-1)\varpi }{m}}+b^{2}}},$

où $\varpi$ dénote la circonférence du cercle, dont le rayon est $1.$ On a donc, dans notre cas,

${\begin{aligned}&{\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {\varpi }{m}}+b^{2}}}{\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {2\varpi }{m}}+b^{2}}}\\&\quad \times {\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {3\varpi }{m}}+b^{2}}}\ldots {\sqrt {a^{2}-2ab\cos {\frac {(m-1)\varpi }{m}}+b^{2}}}=0,\end{aligned}}$

ce qui donne autant d’équations particulières qu’il y a de facteurs, savoir,