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en dégageant ces expressions des radicaux,

${\begin{aligned}&a^{2}-2ab\cos \ \,{\frac {\varpi }{m}}+b^{2}=0,\\&a^{2}-2ab\cos {\frac {2\varpi }{m}}+b^{2}=0,\\&a^{2}-2ab\cos {\frac {3\varpi }{m}}+b^{2}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&a^{2}-2ab\cos {\frac {(m-1)\varpi }{m}}+b^{2}=0.\end{aligned}}$

Soit $\nu$ un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu’à $m-1,$ et toutes ces équations se réduiront à celle-ci

$a^{2}-2ab\cos {\frac {\nu \varpi }{m}}+b^{2}=0\,;$

si l’on substitue les valeurs trouvées de $a$ et $b$ (19), elle se change en

$\mathrm {K} ^{2}-2-2\cos {\frac {\nu \varpi }{m}}=0.$

d’où l’on tire

$\mathrm {K} ^{2}=2\left(1+\cos {\frac {\nu \varpi }{m}}\right),$

ce qui se réduit, par les théorèmes de la multiplication des angles, à

$\mathrm {K} ^{2}=4\left(\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}\right)^{2},$

d’où l’on a enfin

$\mathrm {K} =\pm 2\cos {\frac {\nu \varpi }{2m}}.$

21. Je remarque d’abord que la variété des signes dans cette expression de $\mathrm {K}$ est inutile, parce que, en faisant $\nu$ plus grand que ${\frac {m}{2}},$ la formule nous redonne les mêmes valeurs que quand $\nu$ était plus petit, mais avec