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soient représentées par $c_{1},c_{2},c_{3},\ldots$ les impulsions ou les vitesses communiquées à ces points, et que $\mathrm {X_{1},X_{2},X_{3}} ,\ldots$ désignent leurs distances $\mathrm {AC',AC'',AC'''} ,\ldots$ de la première extrémité donnée $\mathrm {A} ,$ on trouvera, pour la vitesse $u$ d’un point quelconque $\mathrm {D}$ de la même fibre qui est éloigné de $\mathrm {A}$ par l’intervalle $\mathrm {AD} =x,$ l’expression générale suivante :

${\begin{aligned}u={\frac {2c_{1}}{m}}\left(\sin {\frac {\mathrm {X} _{1}\varpi }{2a}}\sin {\frac {x\varpi }{2a}}\cos {\frac {t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\right.&+\sin {\frac {2\mathrm {X} _{1}\varpi }{2a}}\sin {\frac {2x\varpi }{2a}}\cos {\frac {2t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\\&+\left.\sin {\frac {3\mathrm {X} _{1}\varpi }{2a}}\sin {\frac {3x\varpi }{2a}}\cos {\frac {3t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}+\ldots \right)\\+{\frac {2c_{2}}{m}}\left(\sin {\frac {\mathrm {X} _{2}\varpi }{2a}}\sin {\frac {x\varpi }{2a}}\cos {\frac {t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\right.&+\sin {\frac {2\mathrm {X} _{2}\varpi }{2a}}\sin {\frac {2x\varpi }{2a}}\cos {\frac {2t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\\&+\left.\sin {\frac {3\mathrm {X} _{2}\varpi }{2a}}\sin {\frac {3x\varpi }{2a}}\cos {\frac {3t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}+\ldots \right)\\+{\frac {2c_{3}}{m}}\left(\sin {\frac {\mathrm {X} _{3}\varpi }{2a}}\sin {\frac {x\varpi }{2a}}\cos {\frac {t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\right.&+\sin {\frac {2\mathrm {X} _{3}\varpi }{2a}}\sin {\frac {2x\varpi }{2a}}\cos {\frac {2t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}\\&+\left.\sin {\frac {3\mathrm {X} _{3}\varpi }{2a}}\sin {\frac {3x\varpi }{2a}}\cos {\frac {3t\mathrm {H} \varpi }{2\mathrm {T} }}+\ldots \right)\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On ramènera ces expressions à la forme de celles du n^o 54, et il viendra, comme il est aisé de le voir, une suite de formules toutes semblables entre elles, et semblables à celle qu’on a trouvée pour le cas d’une seule impulsion donnée $c.$ Or, afin de connaître ce qui arrivera lorsqu’une même particule d’air sera ébranlée par plusieurs sons divers, il faut chercher la valeur de $u$ au moment de l’ébranlement, et en suivant le même procédé qu’on a enseigné (38), on trouvera que chacune des expressions qui composent la valeur générale de $u$ se réduira à $\pm c_{1},\pm c_{2},\pm c_{3},\ldots ,$ selon que le temps $t$ répondra aux formules

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} _{1}}{a}}\pm {\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}=&\pm \left({\frac {x}{a}}+2s\right),\\{\frac {\mathrm {X} _{2}}{a}}\pm {\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}=&\pm \left({\frac {x}{a}}+2s\right),\\{\frac {\mathrm {X} _{3}}{a}}\pm {\frac {\mathrm {H} t}{\mathrm {T} }}=&\pm \left({\frac {x}{a}}+2s\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$