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tions différentielles d’un degré quelconque, et contenant un nombre quelconque de variables, pourvu qu’elles ne paraissent que sous une forme linéaire. Aussi est-ce une justice qu’il faut rendre à ce savant Géomètre, que de reconnaître que nous lui devons le principal secours qui nous a aidé à franchir les difficultés que lui-même semble avoir crues insurmontables à l’analyse.

À l’égard des procédés de nos deux méthodes, ils ne diffèrent d’abord entre eux que parce que l’on a substitué, dans les derniers, des différenciations et des intégrations au lieu des sommes et des différences algébriques qui se trouvent dans les autres ; mais, comme on pourrait craindre que ces opérations n’entraînassent les inconvénients qu’on a indiqués dans le n^o XV des Recherches précédentes, il me paraît utile de développer cet objet plus en détail, en rapprochant l’analyse que j’ai donnée ci-dessus de celle du Chapitre III des mêmes Recherches.

J’imagine d’abord qu’au lieu de la simple équation générale ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},$ qui appartient à tous les points mobiles, il y en ait une infinité dont chacune représente le mouvement de chacun des points en particulier ; mouvement qui dépend d’ailleurs de tous les autres, puisque la différentielle $d^{2}z$ qu’on prend, en ne faisant varier que $x,$ exprime la différence seconde des valeurs de $z$ pour trois points consécutifs. Je multiplie donc chacune de ces équations par un coefficient indéterminé $\mathrm {M} ,$ ou plutôt par la quantité $\mathrm {M} dx,$ en regardant $\mathrm {M}$ comme une variable qui peut convenir à toutes les équations en général, et j’en prends la somme par une intégration indiquée à la manière ordinaire.

Maintenant, comme il s’agit de joindre ensemble les coefficients de chaque valeur de $z$ qui répond à chaque point mobile, je transforme mon équation intégrale en sorte que les différentielles de $z$ dépendantes de $x$ s’évanouissent.

Les transformations dont je fais usage dans cette occasion sont celles qu’on appelle intégrations par parties, et qui se démontrent ordinairement par les principes du calcul différentiel ; mais il n’est pas difficile de voir qu’elles ont leur fondement dans le calcul général des sommes