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sorte que le terme $-z{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ s’évanouit de lui-même, sans qu’il soit besoin de supposer $z=0$ dans ce point ; ce qui nous montre que la valeur de $z$ pourra être ici tout ce que l’on voudra.

Il faut maintenant déterminer $k$ par la condition que $\mathrm {M}$ devienne nul lorsque $x=a\,;$ on aura donc pour cela

$\mathrm {A} \left[\sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)-a{\sqrt {-k}}\cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)\right]=0,$

ce qui donne

$a{\sqrt {-k}})={\frac {\sin \left(a{\sqrt {-k}}\right)}{\cos \left(a{\sqrt {-k}}\right)}}=\operatorname {tang} \left(a{\sqrt {-k}}\right),$

c’est-à-dire que l’angle $a{\sqrt {-k}}$ devra être égal à sa tangente. Cherchant donc un tel angle et le nommant $\varphi ,$ on aura

${\sqrt {-k}}={\frac {\varphi }{a}}.$

Quoiqu’il soit impossible d’exprimer cet angle algébriquement, on peut néanmoins, par la seule considération du cercle, se convaincre qu’il n’est pas unique et déterminé, mais qu’il y en a une infinité qui ont tous la même propriété, de sorte que ${\sqrt {-k}}$ aura aussi une infinité de valeurs différentes qui satisferont toutes également. On peut voir dans le tome II de l’Introduction à l’Analyse des infiniment petits de M. Euler le dernier Problème du Chapitre XXII, où l’on trouvera une manière assez simple de déterminer tous ces angles par approximation. Au reste, nous n’aurons pas besoin dans la suite de connaître leurs valeurs, il nous suffira de savoir que leur nombre est infini.

Après avoir ainsi déterminé la variable $\mathrm {M} ,$ si on suppose, comme dans le Problème I, $\int z\mathrm {M} dx=s,$ et qu’on pratique les mêmes différentiations à l’égard de $t,$ notre dernière équation intégrale deviendra ${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=cks,$ qui est la même que nous avons déjà intégrée dans le Problème cité. On