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et substituant,

${\frac {\int {\cfrac {d^{2}z'}{dt^{2}}}xdx}{x^{2}}}=c\left({\frac {\cfrac {dz'}{dx}}{x}}-{\frac {z'}{x^{2}}}\right)\,;$

multipliant par $x^{2}$ et différentiant de nouveau,

${\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}xdx=c{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}}xdx,$

ou bien

${\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z'}{dx^{2}}},$

équation réduite au cas du Problème I. Or, puisque la valeur de $z'$ est ici égale à

${\frac {1}{x}}{\frac {d\left(zx^{2}\right)}{dx}}=2z+x{\frac {dz}{dx}},$

telle qu’on l’a supposée dans l’analyse du Problème précédent, il est facile de voir que la solution qu’on aura de cette façon reviendra entièrement à celle qu’on a déjà trouvée. Il est vrai qu’il faudra pour cela que la quantité $k$ ait aussi les mêmes valeurs, et c’est ce qu’il sera aisé de prouver, car ou sait que la détermination de $k$ dépend de la condition que les termes algébriques $\mathrm {M} {\frac {dz'}{dx}}-z'{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}$ disparaissent lorsque $x=a$ (voyez Problème I). Or on a ici

$z'=2z+x{\frac {dz}{dx}}\,;$

donc

$dz'=3dz+xd{\frac {dz}{dx}},$

d’où l’on aura, en posant $x=a$ et $z=0,$ l’équation

$3\mathrm {M} {\frac {dz}{dx}}+a\mathrm {M} {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-a{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {dz}{dx}}=0.$

Maintenant, puisque $z$ doit toujours disparaître lorsque $x=a,$ quel