Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/279

${\begin{aligned}u\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}=&{\frac {1}{2}}\mathrm {U} x^{2}+{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}(\int \mathrm {U} dx+\mathrm {U} x)\\&-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int \left(x+t{\sqrt {c}}\right)d\left(\mathrm {Z} +{\frac {d\mathrm {Z} x}{dx}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on simplifie les expressions intégrales par la méthode des intégrations par parties et qu’on ajoute les constantes nécessaires, on aura

${\begin{aligned}z\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}=&{\frac {1}{2}}\left(x^{2}+xt{\sqrt {c}}\right)\mathrm {Z} +{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}\int \mathrm {Z} dx-{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}\mathrm {A} \\&-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left({\frac {x^{2}}{2}}+xt{\sqrt {c}}\right)\int \mathrm {U} dx-{\frac {1}{4{\sqrt {c}}}}\int \mathrm {U} x^{2}dx+{\frac {\mathrm {D} }{4{\sqrt {c}}}},\\u\left(x+t{\sqrt {c}}\right)^{2}=&{\frac {1}{2}}\left(x^{2}+xt{\sqrt {c}}\right)\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}\int \mathrm {U} dx-{\frac {1}{2}}t{\sqrt {c}}\mathrm {B} \\-{\frac {\sqrt {c}}{2}}&\left(x+xt{\sqrt {c}}\right){\frac {d\mathrm {Z} }{dx}}-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\left(x+2t{\sqrt {c}}\right)\mathrm {Z} +{\frac {\sqrt {c}}{2}}\int \mathrm {Z} dx-{\frac {\sqrt {c}}{2}}\mathrm {A} .\end{aligned}}$

L’addition des constantes sert à rendre égal à zéro le dernier membre de chacune des équations précédentes lorsque $x+t{\sqrt {c}}=0,$ ou $x=-t{\sqrt {c}}=-\mathrm {PP} ',$ ce qui est nécessaire, puisque alors les premiers membres disparaissent d’eux-mêmes ; ainsi, en supposant que les intégrations commencent toutes au point $\mathrm {P} '$ où $x=0,$ les lettres $\mathrm {A,B,D}$ représenteront les valeurs des intégrales $\int \mathrm {Z} dx,\int \mathrm {U} dx,\int \mathrm {U} x^{2}dx$ prises depuis $\mathrm {P} '$ jusqu’à $q',$ lesquelles sont les mêmes que si on les prenait de l’autre côté depuis $\mathrm {P} '$ jusqu’à $\mathrm {Q} '.$ Il faut néanmoins remarquer que dans la première équation l’on ne trouve point de constante qui fasse évanouir le terme $-{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\left({\frac {x^{2}}{2}}+xt{\sqrt {c}}\right)\int \mathrm {U} dx$ dans le cas de $x=-t{\sqrt {c}}\,;$ c’est une omission que j’ai faite exprès à cause d’un nouveau terme qu’il faut encore ajouter à la même équation. Pour voir la raison de ceci, on n’a qu’à se souvenir de ce que, dans l’expression des valeurs de $z'$ et de $u',$ nous avons regardé comme généralement nuls tous les termes qui répondaient aux abscisses exprimées par $x+t{\sqrt {c}}\,;$ il en est cependant