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de l’équation, on se servira de la méthode des intégrations par parties qui a déjà été tant de fois mise en usage ; car, puisque $\mathrm {M} =\sin \left(t{\sqrt {-k}}\right),$ on peut, au lieu de $\int \mathrm {ZM} dt,$ substituer indifféremment

${\frac {1}{\sqrt {-k}}}\int {\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}\cos \left(t{\sqrt {-k}}\right)dt\quad {\text{ou}}\quad -{\frac {1}{k}}\int {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}\sin \left(t{\sqrt {-k}}\right)dt,$

en négligeant les termes algébriques qui doivent être supposés d’eux-mêmes égaux à zéro ; il en est de même de l’expression $\int \mathrm {UM} dt.$ Ces opérations achevées, on mettra sous les signes d’intégration les sinus et cosinus de $x{\sqrt {-{\frac {k}{c}}}},$ et on développera à l’ordinaire les produits de ces sinus et cosinus par les sinus et cosinus correspondants de $t{\sqrt {-k}}\,;$ on obtiendra ainsi l’équation

${\begin{aligned}\int &z\sin \left(t{\sqrt {-k}}\right)dt=\\&{\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {AZ} +{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\+&{\frac {1}{2}}\int \left(\mathrm {AZ} -{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}{\frac {d\mathrm {Z} }{dt}}+{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{dt^{2}}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\+&{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\mathrm {A\int U} dt+{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}\mathrm {U} +{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt\\-&{\frac {1}{2{\sqrt {c}}}}\int \left(\mathrm {A\int U} dt-{\frac {\mathrm {B} }{\sqrt {c}}}\mathrm {U} +{\frac {\mathrm {C} }{c}}{\frac {d\mathrm {U} }{dt}}+\ldots \right)\sin \left[\left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right){\sqrt {-k}}\right]dt.\end{aligned}}$

Or, suivant les principes de notre méthode, on égalera le $t$ du premier membre aux quantités $t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}$ et $t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}$ du second ; d’où l’on aura $t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}$ pour la valeur de $t$ dans les termes multipliés par $\sin \left(t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)$ et $t-{\frac {x}{\sqrt {c}}}$ pour la valeur de $t$ dans les autres termes qui se trouvent multipliés par $\sin \left(t+{\frac {x}{\sqrt {c}}}\right)\,;$ or, $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {U}$ étant des fonctions de $t,$ on peut les exprimer généralement par $\Delta t$ et $\Gamma t,$ ou si, pour abréger davantage, on pose $\mathrm {Z} +{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \mathrm {U} dt=\Delta t$ et $\mathrm {Z} -{\frac {1}{\sqrt {c}}}\int \mathrm {U} dt=\Gamma t,$ on tirera de l’équation pré-