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ainsi à cette équation en $s,$

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=cks+\int Mydx\,;$

par les mêmes procédés je trouve l’intégrale

$s+\mu r=\mathrm {A} e^{\frac {t}{\mu }}+\mu e^{\frac {t}{\mu }}\int e^{\frac {-t}{\mu }}dt\int \mathrm {M} ydx,$

d’où résultent les deux équations

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\int z\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx+{\frac {\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)}{\sqrt {-ck}}}\int \mathrm {UM} dx\\&+{\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx\\&-{\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}e^{-t{\sqrt {ck}}}\int e^{t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx,\end{aligned}}\right.$

(B)

$\left\{{\begin{aligned}\int u\mathrm {M} dx=&\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {UM} dx-{\sqrt {-ck}}\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)\int \mathrm {ZM} dx\\&+{\frac {1}{2}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx\\&+{\frac {1}{2}}e^{-t{\sqrt {ck}}}\int e^{t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx.\end{aligned}}\right.$

Or, puisque $\mathrm {M} =\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right),$ il faut, pour pouvoir chasser la quantité $k$ des équations précédentes, réduire tous leurs termes, en sorte que cette quantité $k$ ne se rencontre que dans des fonctions de la forme de $\sin \left[(x){\sqrt {-k}}\right],$ $(x)$ marquant une fonction quelconque de $x$ et $t.$ Les termes qui renferment $\int \mathrm {ZM} dx,$ $\int \mathrm {UM} dx$ étant les mêmes ici que dans le Problème I, ils se ramèneront à cette forme par les réductions enseignées ; ainsi toute la difficulté se réduira aux termes affectés de deux signes d’intégration et provenant de la quantité $y.$

Prenons d’abord le terme

${\frac {1}{2{\sqrt {ck}}}}e^{t{\sqrt {ck}}}\int e^{-t{\sqrt {ck}}}dt\int \mathrm {M} ydx,$