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deviendront ${\frac {1}{2}}\int \left(\int \mathrm {P} 'dt+\int \mathrm {Q} 'dt\right)\sin \left(x{\sqrt {-k}}\right)dx\,:$ par conséquent l’expression de $u$ renfermera, outre les formules trouvées à la fin du n^o 6, encore celle-ci, ${\frac {1}{2}}\left(\int \mathrm {P} 'dt+\int \mathrm {Q} 'dt\right),$

Corollaire. — Donc le terme $y$ ajouté à l’équation

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=c{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}$

produit dans les valeurs de $z$ et de $u$ une augmentation qu’on déterminera ainsi. Soit intégré $ydx,$ en ne faisant varier que $x,$ et l’intégrale trouvée $\int ydx$ étant multipliée par $dt$ soit intégrée de nouveau, en supposant d’abord $x+t{\sqrt {c}}$ constant et $t$ seul variable ; puis, en supposant $x-t{\sqrt {c}}$ constant et $t$ seul variable, retranchant cette seconde intégrale de la première et divisant la différence par $2{\sqrt {c}},$ on aura ce qu’il faut ajouter à la valeur de $z$. Ensuite soit intégré simplement $ydt$ d’abord, en traitant $x+t{\sqrt {c}}$ comme constante et $t$ comme variable, puis en traitant $x-t{\sqrt {c}}$ comme constante et $t$ de même comme variable ; la somme de ces deux intégrales divisée par $2$ sera l’augmentation de la valeur de $u.$

39. Scolie I. — Dans l’excellent Traité de la cause des vents de M. d’Alembert, on trouve à l’article 87 une méthode fort simple et fort ingénieuse pour rendre complètes ces deux différentielles,

$\alpha ds+\beta du\quad {\text{et}}\quad \rho \alpha du+\nu \beta ds+du\Delta (u,s)+ds\Gamma (u,s).$

Le Problème se réduit à celui que nous venons de résoudre, car, en supposant la première de ces différentielles égale à $dp,$ on trouve $\alpha ={\frac {dp}{ds}}$ et $\beta ={\frac {dp}{du}}\,;$ mais, pour que la seconde différentielle soit exacte, il faut que

${\frac {d\left[\rho \alpha +\Delta (u,s)\right]}{ds}}={\frac {d\left[\nu \beta +\Gamma (u,s)\right]}{du}}.$