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$\mathrm {X}$ étant égal à $a,$ et $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ étant quelconques ; ce qui s’exprimera à notre manière par

$\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}=0.$

Or, si dans l’expression générale $\mathrm {L^{(X,Y,Z)}}$ on suppose que $\mathrm {X}$ surpasse $a$ d’une quantité infiniment petite $u,$ de sorte que $\mathrm {X} =a+u,$ on aura à très-peu près

$\mathrm {L^{(X,Y,Z)}} =\mathrm {L} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}+u{\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }},$

ou

$\mathrm {L} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=u{\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }}\,;$

de même, si l’on suppose $u$ négative, on aura

$\mathrm {L} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )}=-u{\frac {d\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}}{d\mathrm {X} }},$

d’où je tire

$\mathrm {L} ^{(a+u,\mathrm {Y,Z} )}=-\mathrm {L} ^{(a-u,\mathrm {Y,Z} )}.$

et remettant pour $u$ sa valeur $\mathrm {X} -a,$

$\mathrm {L^{(X,Y,Z)}} =-\mathrm {L} ^{(2a\mathrm {-X,Y,Z} )}.$

Maintenant, comme les fonctions $\mathrm {M^{(X,Y,Z)},N^{(X,Y,Z)}}$ doivent avoir un certain rapport avec la fonction $\mathrm {L^{(X,Y,Z)}} ,$ en vertu des équations (A), (B), (C), il est clair que la même condition

$\mathrm {L} ^{(a,\mathrm {Y,Z} )}=0$

servira aussi à trouver les transformations qui conviennent aux fonctions $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ lorsque $\mathrm {X}$ est supposé plus grand que $a\,;$ pour y parvenir, je reprends les équations mentionnées, et comparant la première, différentiée