Page:Lagrange - Œuvres (1867) vol. 1.djvu/362

On sait que ces instruments, quelque figure qu’ils aient, donnent toujours, par une simple variation d’embouchure, tous les sons qui répondent aux nombres $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},\ldots ,$ et il n’est pas difficile de voir, en appliquant aux formules générales du n^o 28 les remarques des numéros précédents, que cela demande nécessairement que les valeurs de $k$ soient $1,2,3,4,\ldots ,$ comme dans les flûtes cylindriques. Or je ne vois point comment l’expression de $\mathrm {M}$ du n^o 27 pourrait fournir de telles valeurs, pour $k,$ a moins que les coefficients alternatifs $\mathrm {A,C} ,\ldots$ ou $\mathrm {B,D} ,\ldots$ ne fussent nuls, ainsi qu’on l’a déjà remarqué dans le n^o 32.

Au reste, quels que soient les mouvements des particules de l’air dans les instruments à vent, ils seront toujours renfermés dans les trois équations générales du n^o 10, dont nous avons donné une construction approchée dans le Chapitre précédent. Il est vrai que cette construction ne nous apprendra rien sur la nature des vibrations des particules, mais les équations (D) et (E) font connaître que, pour que ces vibrations deviennent synchrones, il faut que toutes les valeurs de ${\sqrt {-k}}$ soient commensurables entre elles, afin qu’il y ait un certain intervalle de temps après lequel, les fonctions $\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)$ et $\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right)$ reprenant toujours les mêmes valeurs, les équations mentionnées redeviennent aussi exactement les mêmes.

Cette condition cependant n’est point nécessaire, si l’on suppose que les équations dont il s’agit soient vérifiées indépendamment des quantités $\sin \left(t{\sqrt {-ck}}\right)$ et $\cos \left(t{\sqrt {-ck}}\right),$ ce qui a lieu lorsque chacune des intégrales

${\begin{aligned}&\int (x\,\ \mathrm {L} +y\ \mathrm {M} +z\ \mathrm {N} )d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left(x'\mathrm {L} +y'\mathrm {M} +z'\mathrm {N} \right)d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left[(x\ )\mathrm {L} +(y\ )\mathrm {M} +(z\ )\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\\&\int \left[(x')\mathrm {L} +(y')\mathrm {M} +(z')\mathrm {N} \right]d\mathrm {X} d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

s’évanouit d’elle-même. Il ne sera donc pas inutile d’examiner ici quelles