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supposer de nouveau, au lieu des équations $(p),(q),(r),$

${\begin{aligned}\beta p+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&\mathrm {P} ,\\\beta q+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}=&\mathrm {Q} ,\\\beta r+{\frac {d^{2}r}{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&\mathrm {R} ,\end{aligned}}$

et ensuite

${\begin{aligned}\gamma \mathrm {P} +{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Y} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\mathrm {X} d\mathrm {Z} }}=&0,\\\gamma \mathrm {Q} +{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {Z} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\mathrm {Y} d\mathrm {X} }}=&0,\\\gamma \mathrm {R} +{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\mathrm {Z} ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {P} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {X} }}+{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{d\mathrm {Z} d\mathrm {Y} }}=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, par des opérations analogues à celles qui ont été pratiquées ci-dessus, on parviendra aux formules suivantes :

${\begin{aligned}x=&\left[\mathrm {E} '\ \ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)\ +{\frac {\mathrm {F} '\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\right)}{\sqrt {c\alpha '}}}\,\ \ \right]\varphi (\alpha '\ \ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} ''\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\,\right)+{\frac {\mathrm {F} ''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\right)}{\sqrt {c\alpha ''}}}\ \right]\varphi (\alpha ''\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {E} '''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)+{\frac {\mathrm {F} '''\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)}{\sqrt {c\alpha '''}}}\right]\varphi (\alpha ''',\mathrm {X,Y,Z} )\\y=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\\x'=&\left[\mathrm {F} '\ \ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \right)-\mathrm {E} '\ \ {\sqrt {c\alpha '}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '}}\ \ \right)\right]\varphi (\alpha '\ \ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} ''\ \cos \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\,\right)-\mathrm {E} ''\ {\sqrt {c\alpha ''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha ''}}\ \right)\right]\varphi (\alpha ''\ ,\mathrm {X,Y,Z} )\\+&\left[\mathrm {F} '''\cos \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)-\mathrm {E} '''{\sqrt {c\alpha '''}}\sin \left(t{\sqrt {c\alpha '''}}\right)\right]\varphi (\alpha ''',\mathrm {X,Y,Z} )\\y'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\z'=&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui donnent les mouvements des particules composés de trois mouvements simples, analogues chacun à celui du n^o 60 ; d’où il s’ensuit que l’isochronisme n’y aura lieu que lorsque les quantités $\alpha ',\alpha '',\alpha ''',$ qui expriment trois valeurs quelconques de $-k,$ seront toutes commensurables entre elles.