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d’où l’on tire séparément

$dx+\mathrm {T} dz=0\quad {\text{et}}\quad dy+\mathrm {U} dz=0,$

équations qui font connaître que la surface proposée doit toujours être coupée à angles droits par la courbe cherchée.

Si la brachistochrone doit simplement être terminée par deux surfaces données de position, alors pour remplir l’équation (C) il est nécessaire de faire séparément ${\grave {\,}}\!\mathrm {M} =0$ et $\mathrm {M} '=0,$ d’où l’on tire, pour le premier et le dernier point de la courbe, les mêmes conditions qu’on a trouvées dans le cas précédent pour le dernier point seulement ; on en conclura donc que la courbe cherchée sera celle, d’entre toutes les cycloïdes possibles, qui rencontrera perpendiculairement les deux surfaces proposées.

V.

Second cas. — Supposons maintenant que la brachistochrone doive être toute couchée sur une surface donnée, dont l’équation soit

$dz=pdx+qdy\,;$

changeant la caractéristique $d$ en $\delta ,$ on aura donc

$\delta z=p\delta x+q\delta y,$

équation qui donne le rapport qu’il doit y avoir en général entre les différences $\delta z,\delta y,\delta x.$ Substituant cette valeur de $\delta z$ dans l’équation (B), et faisant ensuite les deux coefficients de $\delta x$ et de $\delta y$ chacun égal à zéro, on aura pour la courbe cherchée

${\begin{aligned}-pd{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}-{\frac {ds}{{\sqrt {x}}2x}}-d{\frac {dx}{{\sqrt {x}}ds}}=&0,\\-qd{\frac {dz}{{\sqrt {x}}ds}}-d{\frac {dy}{{\sqrt {x}}ds}}=&0.\end{aligned}}$

Ces équations reviennent au même, étant combinées avec l’équation à la surface $dz=pdx+qdy\,;$ car, multipliant la première par ${\frac {2dx}{{\sqrt {x}}ds}}$ et la